湖北省孝感市楚环高级中学高三数学理月考试卷含解析

湖北省孝感市楚环高级中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知单位向量的夹角为     A．             B．             C．           D． 参考答案： C 2. 已知函数，则方程的不相等的实根个数为（  ） A．5　　       　B．6　　        　C．7　    　 　D．8 参考答案： 3. 在等边△ABC中，是 上的一点，若，，则 （A）  （B）      （C） （D） 参考答案： B 4. 下列说法正确的是 A．“为真”是“为真”的充分不必要条件； B．设有一个回归直线方程为，则变量每增加一个单位，平均减少个单位； C．若，则不等式成立的概率是； D．已知空间直线，若，，则． 参考答案： B 5. 已知集合A＝{1，2，a－1}，B＝{0，3，a2＋1}，若，则实数a的值为  （ ） A．0              B．±1               C．－1            D．1 参考答案： C 6. 已知复数z1=（m∈R）与z2=2i的虚部相等，则复数z1对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出． 【解答】解：复数z1===﹣mi﹣1与z2=2i的虚部相等， ∴﹣m=2，解得m=﹣2． z1=﹣1+2i 则复数z1对应的点（﹣1，2）在第二象限． 故选：B． 7. 已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=(　　 ) A.         B.          C. 2         D. 参考答案： D ，|z|=，故选D. 8. 右面的程序框图输出的结果为 　A、511　　　　　　B、254　C、1022　　　　　 D、510 参考答案： D 9. 若复数，且,则的取值范围是   A.    B.   C.   D. 参考答案： B 10. 若，是夹角为的单位向量，且，，则（   ） A．          B．         C．         D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点， ，，则            。 参考答案： 略 12. 若正数满足，则的最小值为________． 参考答案： 3 略 13. 如图所示：在中，于，为线段上的点，且，则的值等于                   参考答案： 14. 设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为      ． 参考答案： 略 15. 若的取值范围是            。 参考答案： 答案：    16. 已知函数，，对于均能在区间内找到两个不同的，使，则实数的值是  ▲      . 参考答案： 2 17. 已知函数，将的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在上至少含有个零点，则的最小值为               参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=|x﹣1|． （Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）． 参考答案： 【考点】R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）易求f（x）+f（x+4）=，利用一次函数的单调性可求f（x）+f（x+4）≥8的解集； （Ⅱ）f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，作差证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=， 当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5； 当﹣3≤x≤1时，f（x）+f（x+4）=4≥8不成立； 当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3． ∴不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．              （Ⅱ）证明：∵f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|， 又|a|＜1，|b|＜1， ∴|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， ∴|ab﹣1|＞|a﹣b|． 故所证不等式成立． 19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点． （1）求异面直线CD和PB所成角大小； （2）求直线CD和平面ABE所成角大小． 参考答案： 【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角． 【分析】分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 （1）设异面直线CD和PB所成角为α，用向量表示CD和PB，再利用公式可求． （2）先求平面ABE的法向量，再利用公式求解． 【解答】解：由题意，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴．设PA=a，则 P（0，0，a），B（a，0，0），， （1）设异面直线CD和PB所成角为α ∴ ∴异面直线CD和PB所成角为 （2）设直线CD和平面ABE所成角为β PA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC， PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA． 又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE?面PAC，故CD⊥AE． 从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE． ∵，∴ ∴直线CD和平面ABE所成角为． 20. （13分）设函数的导函数为    （1）a表示；    （II）若函数在R上存在极值，求a的范围。 参考答案： 解析：（I）                            …………………………6分    （II）设处取得极值则 使得不满足假设。 当必须有两个相异根。 故  即           …………………………13分 21. （12分） 已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径； （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 参考答案： 解：（1）因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设. 因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径为. 由已知得，又，故可得，解得或. 故⊙M的半径或. （2）存在定点，使得为定值. 理由如下： 设，由已知得⊙M的半径为. 由于，故可得，化简得M的轨迹方程为. 因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以. 因为，所以存在满足条件的定点P.   22. （本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀， 甲校：                                         乙校：          (1)计算x，y的值; (2)由以上统计数据填写右面2X2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异. 附： 参考答案： 略