湖北省十堰市第十三中学2023年高三数学理月考试题含解析

湖北省十堰市第十三中学2023年高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）2，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若f(m) ﹣f(1﹣m)≥﹣3m，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1] B． C．[1，+∞） D． 参考答案： D 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】令g（x）=f（x）+2x﹣，求得g（x）+g（2﹣x）=3，则g（x）关于（1，3）中心对称，则g（x）在R上为减函数，再由导数可知g（x）在R上为减函数，化为g（m）≥g（1﹣m），利用单调性求解． 【解答】解：令g（x）=f（x）+2x﹣， g′（x）=f′（x）+2﹣x，当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x． ∴当x≤1时，g（x）为减函数， 而g（2﹣x）=f（2﹣x）+2（2﹣x）﹣， ∴f（x）+f（2﹣x）=g（x）﹣2x++g（2﹣x）﹣2（2﹣x）+ =g（x）+g（2﹣x）+x2﹣2x﹣2=x2﹣2x+1． ∴g（x）+g（2﹣x）=3． 则g（x）关于（1，）中心对称，则g（x）在R上为减函数， 由，得f（m）+2m≥f（1﹣m）+2（1﹣m）﹣， 即g（m）≥g（1﹣m）， ∴m≤1﹣m，即m． ∴实数m的取值范围是（﹣∞，]． 故选：D． 2. 函数的定义域是          （      ） A．[-1，4] B．      C．[1，4]       D． 参考答案： D【知识点】函数定义域的求法；一元二次不等式的解法.    B1  E3 解析：由，故选 D. 【思路点拨】根据函数定义域的意义，得关于x的不等式组，解此不等式组即可. 3. 如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为(   ) A．        B．        C．          D． 参考答案： B 4. 设cos′′(x),…,′N,则等于(    ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx   参考答案： D 略 5. 已知为互相垂直的单位向量，向量a，b，且a与a+b的夹角为锐角，则实数的取值范围是                                                                                                                              （　　）        A．                               B．           C．                                 D． 参考答案： A 略 6. 已知函数f(x)的定义域为R，，对任意的满足.当时，不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据题意构造函数，则，所以得到在上为增函数，又．然后根据可得，于是，解三角不等式可得解集． 【详解】由题意构造函数， 则， ∴函数在上为增函数． ∵， ∴． 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴不等式的解集为． 故选D． 7. 已知数列{an}满足，那么使成立的n的最大值为 A．4           B．5                 C．6               D．7 参考答案： B 8. 若=，，则等于 A．        B．        C．        D． 参考答案： D 略 9. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为 （A） （B） （C） （D）   参考答案： B 略 10. 若变量满足约束条件，则的最大值为 A．        B．         C．          D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是定义在上的奇函数，且当时,，则不等式的解集是             ； 参考答案： 略 12. 在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是______________． 参考答案： 略 13. 展开式中常数项为        参考答案： 14. 已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为          ． 参考答案：       15. 平面上的向量与满足，且，若点满足 ，则的最小值为______________________ 参考答案： 由得 ，所以。即的最小值为。 16. 函数单调递减区间是          。 参考答案： （0，2） 17. 若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是 　  　.   参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （13分）已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和． （Ⅰ）求该圆台的母线长； （Ⅱ）求该圆台的体积。 参考答案： 19. （本小题满分12分）已知函数（）． (I)若的定义域和值域均是，求实数的值； (II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围． 参考答案： ∵（）， ∴在上是减函数 又定义域和值域均为， ∴ ， 即 ，解得 ． (II)  ∵在区间上是减函数，∴， 又，且 ∴，． ∵对任意的，，总有， ∴，即 ，解得 ，  又， ∴． 20. （本小题满分12分）函数，, 函数的最小正周期为。 （1）求的解析式； （2）已知的图像和的图像关于点对称，求的单调增区间。 参考答案： （1） ……… 6分   （2）设的图像上任一点关于对称的点在的图像上，， ， ，，的单调增区间为。                                 ……… 12分 21. (本小题满分12分) 已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？   参考答案： 22. （本小题满分12分） 已知向量，向量 函数     （1）求的解析式，并求函数的单调递减区间； （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B， C的对边，已知 的面积为求的值. 参考答案： 解：（1）………………3分 ∴单调递减区间为，………6分 （2）             …………9分 ∴……………12分 略