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湖北省十堰市第十三中学2023年高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义在R上的可导函数f(x),其导函数记为f'(x),满足f(x)+f(2﹣x)=(x﹣1)2,且当x≤1时,恒有f'(x)+2<x.若f(m) ﹣f(1﹣m)≥﹣3m,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,1] B. C.[1,+∞) D.
参考答案:
D
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】令g(x)=f(x)+2x﹣,求得g(x)+g(2﹣x)=3,则g(x)关于(1,3)中心对称,则g(x)在R上为减函数,再由导数可知g(x)在R上为减函数,化为g(m)≥g(1﹣m),利用单调性求解.
【解答】解:令g(x)=f(x)+2x﹣,
g′(x)=f′(x)+2﹣x,当x≤1时,恒有f'(x)+2<x.
∴当x≤1时,g(x)为减函数,
而g(2﹣x)=f(2﹣x)+2(2﹣x)﹣,
∴f(x)+f(2﹣x)=g(x)﹣2x++g(2﹣x)﹣2(2﹣x)+
=g(x)+g(2﹣x)+x2﹣2x﹣2=x2﹣2x+1.
∴g(x)+g(2﹣x)=3.
则g(x)关于(1,)中心对称,则g(x)在R上为减函数,
由,得f(m)+2m≥f(1﹣m)+2(1﹣m)﹣,
即g(m)≥g(1﹣m),
∴m≤1﹣m,即m.
∴实数m的取值范围是(﹣∞,].
故选:D.
2. 函数的定义域是 ( )
A.[-1,4] B. C.[1,4] D.
参考答案:
D【知识点】函数定义域的求法;一元二次不等式的解法. B1 E3
解析:由,故选 D.
【思路点拨】根据函数定义域的意义,得关于x的不等式组,解此不等式组即可.
3. 如图,设是图中边长为的正方形区域,是内函数图象下方的点构成的区域.向中随机投一点,则该点落入中的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 设cos′′(x),…,′N,则等于( )
A.sinx B.-sinx
C.cosx D.-cosx
参考答案:
D
略
5. 已知为互相垂直的单位向量,向量a,b,且a与a+b的夹角为锐角,则实数的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
6. 已知函数f(x)的定义域为R,,对任意的满足.当时,不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
根据题意构造函数,则,所以得到在上为增函数,又.然后根据可得,于是,解三角不等式可得解集.
【详解】由题意构造函数,
则,
∴函数在上为增函数.
∵,
∴.
又,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴不等式的解集为.
故选D.
7. 已知数列{an}满足,那么使成立的n的最大值为
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
B
8. 若=,,则等于
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 阅读右侧程序框图,为使输出的数据为,则①处应填的数字为
(A)
(B)
(C)
(D)
参考答案:
B
略
10. 若变量满足约束条件,则的最大值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是定义在上的奇函数,且当时,,则不等式的解集是 ;
参考答案:
略
12. 在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是______________.
参考答案:
略
13. 展开式中常数项为
参考答案:
14. 已知向量与的夹角是,,,则向量与的夹角为 .
参考答案:
15. 平面上的向量与满足,且,若点满足
,则的最小值为______________________
参考答案:
由得
,所以。即的最小值为。
16. 函数单调递减区间是 。
参考答案:
(0,2)
17. 若不等式成立的充分不必要条件是,则实数的取值范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)已知圆台的上、下底面半径分别是2、6,且侧面面积等于两底面面积之和.
(Ⅰ)求该圆台的母线长;
(Ⅱ)求该圆台的体积。
参考答案:
19. (本小题满分12分)已知函数().
(I)若的定义域和值域均是,求实数的值;
(II)若在区间上是减函数,且对任意的,,总有,求实数的取值范围.
参考答案:
∵(),
∴在上是减函数
又定义域和值域均为,
∴ , 即 ,解得 .
(II) ∵在区间上是减函数,∴,
又,且
∴,.
∵对任意的,,总有,
∴,即 ,解得 ,
又, ∴.
20. (本小题满分12分)函数,,
函数的最小正周期为。
(1)求的解析式;
(2)已知的图像和的图像关于点对称,求的单调增区间。
参考答案:
(1) ……… 6分
(2)设的图像上任一点关于对称的点在的图像上,,
,
,,的单调增区间为。 ……… 12分
21. (本小题满分12分)
已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?
参考答案:
22. (本小题满分12分)
已知向量,向量
函数
(1)求的解析式,并求函数的单调递减区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B, C的对边,已知 的面积为求的值.
参考答案:
解:(1)………………3分
∴单调递减区间为,………6分
(2) …………9分
∴……………12分
略
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