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湖北省十堰市第十三中学2022年高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知f(x)=asin2x+bcos2x,其中a,b∈R,ab≠0,若f(x)≤|f()|对一切
x∈R恒成立,且f()>0,则f(x)的单调递增区间是
A.[kπ-,kπ+](k∈Z) B.[kπ+,kπ+](k∈Z)
C.[kπ,kπ+](k∈Z) D.[kπ-,kπ](k∈Z)
参考答案:
B
略
2. 设,是两个不同的平面,m是直线且,“”是“”的( ).
A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
3. 已知直线,点在圆C:外,则直线与圆C的位置关系是 ( )
A .相交. B.相切. C .相离. D.不能确定.
参考答案:
A
略
4.
设双曲线的左、右焦点为、,若该双曲线上有一点到点的距离为,且的内切圆圆心的横坐标为,则该双曲线的离心率为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
5. 已知集合,集合.若,则实数m的取值集合为( )
A. {1} B. C. {1,-1} D.
参考答案:
C
【分析】
将选项中的元素逐一验证,排除错误选项,由此得出正确选项.
【详解】若,则,符合,排除B,D两个选项.若,则,符合,排除A选项.故本小题选C.
【点睛】本小题主要考查子集的概念,考查选择题的解法——排除法,属于基础题.
6. 已知下列四个命题:
:若直线和平面内的无数条直线垂直,则;
:若,则,;
:若,则,;
:在△中,若,则.
其中真命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
参考答案:
B
p1错误,因为无数条直线不一定是相交直线,可能是平行直线;p2正确;p3错误,因为由,得x=0,故错误;p4正确,注意前提条件是在△中。
7. 下列四个结论中:正确结论的个数是
①若x∈R,则是的充分不必要条件;
②命题“若x﹣sinx=0,则x=0”的逆命题为“若x≠0,则x﹣sinx≠0”;
③若向量满足,则恒成立;( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
参考答案:
A
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,若x∈R,由?+kπ;
②,命题的逆命题只交换条件和结论;
③,若向量满足?cosθ=±1(θ为的夹角);
【解答】解:对于①,若x∈R,由?+kπ,应是必要不充分条件,故错;
对于②,命题“若x﹣sinx=0,则x=0”的逆命题为“若x=0,则x﹣sinx=0”,故错;
对于③,若向量满足?cosθ=±1(θ为的夹角)则恒成立,故正确;
故选:A.
【点评】本题考查了命题真假的判定,属于基础题.
8. 下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 已知函数的定义域是[0,2],则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由题意得,选C.
10. 下列函数中,满足“对任意,,当时,都有”的函数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,为虚数单位,,则 ▲ .
参考答案:
2
由复数的运算法则: ,
结合复数相等的充要条件有: ,即 ,
则2.
12. 若n的展开式中所有二项式系数之和为64,则展开式的常数项为 .
参考答案:
13. 已知向量,向量与方向相反,且,则实数 .
参考答案:
14. 某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查,经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查,发现有20名同学上
次被抽到过,估计这个学校高一年级的学生人数为 .
参考答案:
400
略
15. 等比数列{}中,,则等于
参考答案:
,
16. (不等式选讲选做题)不等式的解是 .
参考答案:
且
17. 等比数列的前项和为,若对于任意的正整数,均有成立,则公比 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数
(1)解不等式,
(2)若定义域为,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)原不等式等价于:
因此不等式的解集为
(2) 由于的定义域为R
∴在R上无解
又 即
∴-m<2, 即m>-2
略
19. 已知正六边形ABCDEF的边长为2,沿对角线AE将△FAE的顶点F翻折到点P处,使得 PC=.
(1)求证:平面PAE⊥平面ABCDE;
(2)求二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)连结AC,EC,取AE中点O,连结PO,CO,推导出PO⊥AE,CO⊥AE,则∠POC是二面角P﹣AE﹣C的二面角,求出PO⊥CO,由此能证明平面PAE⊥平面ABCDE.
(2)以O为原点,OA为x轴,OC为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
【解答】证明:(1)连结AC,EC,取AE中点O,连结PO,CO,
由已知得PE=PA=2,AE=AC=EC==,
∴PO⊥AE,CO⊥AE,∴∠POC是二面角P﹣AE﹣C的二面角,
∴PO==1,CO==3,∴PO2+CO2=PC2,
∴PO⊥CO,∴∠POC=90°,∴平面PAE⊥平面ABCDE.
解:(2)以O为原点,OA为x轴,OC为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
P(0,0,1),C(0,3,0),B(,2,0),D(﹣,2,0),
=(),=(0,3,﹣1),=(﹣),
设平面PBC的法向量=(x,y,z),
则,取x=1,得=(1,,3),
设平面PCD的法向量=(a,b,c),
则,取b=1,得=(﹣,1,3),
设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ,
则cosθ===.
∴二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值为.
20. 已知集合,
(1)若,求出m的取值范围;
(2)是否存在实数m,使是的充分条件,若存在,求出m的范围.若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1) (2)存在,
【分析】
(1)根据直接解不等式组即可.
(2)根据充分条件和必要条件与集合的关系转化为,进行求解即可.
【详解】(1)若,则,
即,得,得m≥0.
(2) ,
.
假设存在实数m,使是的充分条件,则必有.
所以,得,
解得.
所以存在实数使条件成立.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,结合充分条件和必要条件与集合的关系进行转化是解决本题的关键.比较基础.
21. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+bsinC=a.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若BC边上的高等于a,求cosA的值.
参考答案:
【分析】(Ⅰ)利用正弦定理求和三角形的三角的关系,以及两角和的正弦公式sinB=cosB,即可求出B,
(Ⅱ)设BC边上的高线为AD,运勾股定理和余弦定理,即可求得cosB,再由正弦定理,即可求出
【解答】解:(Ⅰ)因为bcosC+bsinC=a,
由正弦定理得,sinBcosC+sinBsinC=sinA.
因为A+B+C=π,
所以sinBcosC+sinBsinC=sin(B+C).
即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.
因为sinC≠0,
所以sinB=cosB.
因为cosB≠0,所以tanB=1.
因为B∈(0,π),所以.
(Ⅱ)设BC边上的高线为AD,则.
因为,则,.
所以=,.
由余弦定理得=.
所以cosA=.
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用,考查两角和的正弦公式的运用,考查运算能力,属于中档题.
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax3 - x2+x,a∈R。
( I)若曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y=x-2,求a的值;
(Ⅱ)若f '(x)是f(x)的导函数,且不等式f '(x)≥xlnx恒成立,求a的取值范围.
参考答案:
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