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湖北省咸宁市张公中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量a,b满足|a|=2, | b|=l,且(a+b)⊥(),则a与b的夹角为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 设是空间两条直线,,是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( )
A.当时,“”是“”的必要不充分条件
B.当时,“”是“”的充分不必要条件
C.当时, “”是“∥”成立的充要条件
D.当时,“”是“”的充分不必要条件
参考答案:
A
3. 若函数(),则是( )
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
参考答案:
D
略
4. 已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可以表示为( )
A.M∩N B.(?UM)∩N C.M∩(?UN) D.(?UM)∩(?UN)
参考答案:
B
【考点】交、并、补集的混合运算.
【专题】集合.
【分析】根据元素之间的关系进行求解即可.
【解答】解:∵M={3,4,5},N={1,2,5},
∴M∩N={5},(?UM)∩N={1,2},
M∩(?UN)={3,4},
(?UM)∩(?UN)=?,
故选:B
【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
5. 已知函数,若实数是方程的解, 且,则的值 ( )
A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不小于零
参考答案:
A
6. 设r是方程f(x)=0的根,选取x0作为r的初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y=f(x)的切线l,l的方程为y=f(x0)+(x-x0),求出l与x轴交点的横坐标x1=x0-,称x1为r的一次近似值。过点(x1,f(x1))做曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1-,称x2为r的二次近似值。重复以上过程,得r的近似值序列,其中,=-,称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。已知是方程-6=0的一个根,若取x0=2作为r的初始近似值,则在保留四位小数的前提下,≈
A.2.4494 B.2.4495 C.2.4496 D.2.4497
参考答案:
B
,,点处的切线方程为:,解得:
又=-
∴
.
故选:B.
7. 将函数的图象向左平移个单位后,得到的图象可能为( )
参考答案:
D
试题分析:函数的图象向左平移个单位后得
,图象为D。故选D.
考点:三角函数的图象变换,函数的图象.
8. 下列函数中是偶函数,且在(0,2)内单调递增的是( )
A.y=x2﹣2x B.y=cosx+1 C.y=lg|x|+2 D.y=2x
参考答案:
C
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据偶函数的定义,偶函数图象关于y轴对称的特点,以及对数函数,余弦函数的单调性即可找出正确选项.
【解答】解:y=x2﹣2x不是偶函数,所以不符合条件;
y=cosx+1,在(0,π)内是减函数,所以不符合条件;
y=lg|x|+2=,所以该函数是偶函数,在(0,2)内单调递增,所以该选项正确;
y=2x的图象不关于y轴对称,所以不是偶函数,所以不符合条件.
故选C.
【点评】考查偶函数的定义,偶函数的图象关于y轴对称的特点,以及余弦函数、对数函数的单调性,指数函数的图象.
9. 在△ABC中,sinA=, ?=6,则△ABC的面积为( )
A.3 B. C.6 D.4
参考答案:
D
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】解三角形;平面向量及应用.
【分析】由题意结合数量积的运算和同角的平方关系可得||?|=10,而△ABC的面积S=||?|?sinA,代入数据计算可得.
【解答】解:由题意可得?=||?|?cosA=6,
又sinA=,故可得cosA=,
故||?|=10,
故△ABC的面积S=||?|?sinA=×10×=4.
故选D.
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算,涉及三角形的面积公式,属中档题.
10. 若为不等式组表示的平面区域,则当从-2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( )
A. B.1 C. D.5
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 .
参考答案:
;
12. 一个几何体的三视图如图所示(单位),则刻几何体的体积为 .
参考答案:
考点:三视图的识读和几何体的体积的计算.
13. 二项式展开式中的第二项系数是8,则它的第三项的二项式系数是
参考答案:
6
14. 函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题中是真命题有______(写出所有真命题的编号)
①函数是单函数;
②指数函数是单函数;
③若为单函数,且,则;
④在定义域是单调函数的函数一定是单函数.
参考答案:
②③④
略
15. 定义在上的偶函数,对任意的均有成立,当时,,则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于 .
参考答案:
1
16. 已知,则=_____.
参考答案:
【分析】
直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果.
【详解】,则,所以,
则:,
故答案:.
【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,和角公式的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.
17. 已知集合,集合,且,则实数x= .
参考答案:
因为,则,
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=-x+8x,g(x)=6lnx+m
(Ⅰ)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;,若不存在,说明理由。
参考答案:
19. 如图,已知抛物线的焦点为F,过F的直线交抛物线于M、N两点,其准线与x轴交于K点.
(1)求证:KF平分∠MKN;
(2)O为坐标原点,直线MO、NO分别交准线于点P、Q,求的最小值.
参考答案:
解:(1)抛物线焦点坐标为,准线方程为
设直线MN的方程为。设M、N的坐标分别为
由, ∴
设KM和KN的斜率分别为,显然只需证即可. ∵
∴
(2)设M、N的坐标分别为,由M,O,P三点共线可求出P点的坐标为,由N,O,Q三点共线可求出Q点坐标为,
设直线MN的方程为。由
∴则
又直线MN的倾斜角为,则
∴
同理可得
(时取到等号)
略
20. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
(1)设函数 .求不等式 的解集.
(2)若a,b,c都为正实数,且满足a+b+c=2.证明: .
参考答案:
21. 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率为双曲线y2﹣=1离心率的一半,直线y=x被椭圆E截得的线段长为.直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E交于A,B两个相异点,且=λ.
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在实数m,使+λ=4?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)由双曲线的离心率求得椭圆的离心率,求得a=2b,将y=x代入椭圆方程,由2××=,即可求得a的值,求得椭圆方程;
(2)当m=0时,O,P重合,λ=1显然成立,当m≠0时求得λ=3,将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,求得k2=,m2≠1,由△>0,即可求得m的取值范围.
【解答】解:(1)设椭圆的方程为(a>b>0),双曲线双曲线y2﹣=1离心率e=,
由椭圆的离心率e===,则a=2b,
将y=x代入椭圆,解得:x=±,
∴2××=,解得:a=2,
∴椭圆E的方程为;
(2)假设存在实数m,使+λ=4成立,
由题意可得P(0,m),
当m=0时,O,P重合,λ=1显然成立,
当m≠0时,由=λ,可得﹣=λ(﹣),则+λ=(1+λ),
∴λ=3,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由=3,可得x1=﹣3x2①
,整理得:(k2+4)x2+2kmx+m2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣,x1x2=,②
由①②可得:m2k2+m2﹣k2﹣4=0,则k2=,m2≠1,
由△=(2km)2﹣4(k2+4)(m2﹣4)>0,则k2+4﹣m2>0,
∴k2+4﹣m2=+4﹣m2=>0,则1<m2<4,
解得:﹣2<m<﹣1或1<m<2,
综上可得:m的取值范围是(﹣2,﹣1)∪(1,2)∪{0}.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆位置关系,考查韦达定理,向量的坐标运算,考查计算能力,属于中档题.
22. 已知函数,.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)设,当时,都有成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)由已知得.因为曲线在点处的切线与直线垂直,所以.所以.所以.……3分
(Ⅱ)函数的定义域是,.
(1)当时,成立,所以的单调增区间为.
(2)当时,
令,得,所以的单调增区间是;
令,得,所以的单调减区间是.
综上所述,当时,的单调增区间为;
当时,的单调增区间是,
的单调减区间是. …………8分
(Ⅲ)当时,成立,. “当时,恒成立”等价于“当时,恒成立.”
设,只要“当时,成立.”
.令得,且,又因为,所以函数在上为减函数; 令得,,又因为,所以函数在上为增函数. 所以函数在处取得最小值,且.所以. 又因为,所以实数的取值范围. ………12分
略
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