湖北省恩施市李家河中学高三数学理测试题含解析

湖北省恩施市李家河中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（　　） A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步 参考答案： B 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可． 【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m． 方田面积减去水池面积为13.75亩， ∴（40+m）2﹣=13.75×240． 解得：m=20． 即圆池直径20步 那么：方田边长为40步+20步=60步． 故选B． 【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题． 2. 已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式． 【解答】解：由题意m=2． A=±2， 再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2， ∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2． 再由是其图象的一条对称轴，可得 +φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=， 故符合条件的函数解析式是 y=﹣2sin（2x+）+2， 故选B 3. 已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（　　） A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2} 参考答案： B 【考点】交集及其运算． 【分析】根据交集的定义写出A∩B即可． 【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2}， B={x|0≤x≤2}， 则A∩B={0，1，2}． 故选：B． 4. 若与在区间1，2上都是减函数，则的取值范围是（ ） A． (0，1)                         B． (0，1 C． (-1,0）∪(0，1)                 D． (-1，0) ∪(0，1 参考答案： B 5. 已知点，则与同方向的单位向量是（   ） A．     B．     C． D． 参考答案： A 略 6. 若实数满足约束条件，则    的最大值为    A. 3      B. 6     C. 10     D. 12 参考答案： C 7. 设不等式组所表示的区域为M，函数y=﹣的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（  ） A． B． C． D． 参考答案： B 【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率． 【解答】解：作出图形如图所示： 则区域M为△ABC，区域N为单位圆的下半圆， 点O到直线x+y=﹣ 和直线x﹣y=的距离均为=1，故半圆与AB，BC相切． ∴向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为P===． 故选B． 【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．   8. 从[-4,4]上任取一个数x，从[-4,4]上任取一个数y,则使得的概率是（  ） A． B． C． D．   参考答案： C ：因为点(x，y)在边长为8的正方形区域内，其面积为64，满足不等式的点对应的区域为前面正方形内的一个边长为的正方形区域，其面积为32，所以所求的概率为，则选C. 9. 已知数列为等差数列，且满足．若展开式中项的系数等于数列的第三项，则的值为（　　） A．6                 B．8 C．9                  D．10 参考答案： C 10. 等于(     ) A．0 B．2sin1 C．2cos1 D．2 参考答案： D 【考点】定积分． 【专题】导数的综合应用． 【分析】找出被积函数的原函数，计算定积分． 【解答】解：=（x3+cosx）|=1+cos1+1﹣cos1=2； 故选D． 【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是第二象限角，，则_________. 参考答案：           12. 若执行如图3所示的框图，输入， ,则输出的数于         。 参考答案： 略 13. 正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是________.（写出所有正确命题的编号） ①当时，为矩形，其面积最大为1； ②当时，为等腰梯形； ③当时，设与棱的交点为，则； ④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值。 参考答案： 【知识点】正方体的特征G1 ②③④ 当时，为矩形，其最大面积为1，所以①错误； 当时，截面如图所示，所以②正确； 当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1∩QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴③正确； 当y=1时，以B1为顶点，S为底面的棱锥B1-APC1M如图所示，该四棱锥的体积为,所以④正确． 综上可知答案为②③④. 【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答. 14. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为　　cm3． 参考答案： 16π 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式求得圆锥的底面半径，再求得圆锥的高，代入体积公式计算． 【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2， 设圆锥的半径为r， ∴有πr×5=20π?r=4， ∴圆锥的高为=3， ∴圆锥的体积为×π×r2×3=16πcm3． 故答案：16πcm3． 【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式、体积公式，解题的关键是求得圆锥的半径． 15. 已知函数，则______ 参考答案： 2 16. 给出下列四个命题： ①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”； ②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c； ③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题； ④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0． 其中的真命题是          ．（写出所有真命题的编号） 参考答案： ①④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】简易逻辑． 【分析】①利用命题的否定即可判断出； ②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出； ③在△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：，可得sinA＞sinB． ④利用偶函数的性质即可得出． 【解答】解：①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，正确； ②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线， 由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确； ③在△ABC中，由A＞B?a＞b，由正弦定理可得：， 因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确； ④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数． 由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确． 综上可知：只有①④正确． 故答案为：①④． 【点评】本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 17. 已知经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线相交于A，B两点， 且，若直线AB被圆所截得的弦长为4，则p=______. 参考答案： 或6 抛物线的焦点，设直线方程为，代入有，设， 从而① ，，② 由可得③， 联立①②③可得， 于是直线方程为，即， 从而圆心到直线的距离为，又圆的半径为，弦长为4， 从而有，解得或6。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数（，）的值域为． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若存在，使得，求实数的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）或;（Ⅱ）． 试题分析：（Ⅰ）利用绝对值三角不等式得， 可知，可得解. （Ⅱ）依题意有，可得，解得． 试题解析：（Ⅰ）对于任意，， 可知，∴或． （Ⅱ）依题意有，，解得． 19. 点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。 参考答案： 点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。 解：设，则,即， 当时，；当时，。 略 20. （本小题满分12分）已知且,求实数的值． 参考答案： 由已知, ①当时,,解得,这与前提矛盾； ②当时,,解得,由于,则有； ③当时,,解得,这与前提矛盾； 综上所述,实数的值为． 21. （本小题满分12分） 已知函数，其中a为常数. （I）若上是单调增函数，求a的取值范围； （II）当在区间上不是单调函数时，试求函数的零点个数，并证明你的结论. 参考答案： 22. 本题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率，且点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知、为椭圆上的动点,当时,求证:直线恒过一个定点.并求出该定点的坐标. 参考答案： 【解】：(1)椭圆C的方程是:…………………………4分 (2) 当直线l不垂直于x轴时,设：  　得 ………………………6分   …………………… 8分 　即　……………10分 当时，恒过定点 当时，恒过定点，不符合题意舍去…       12分 当直线l垂直于x轴时，若直线AB：　　则AB与椭圆Ｃ相交于，，，满足题意 综上可知，直线恒过定点，且定点坐标为……………… 14分   略