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浙江省衢州市高级中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A. B. 6 C. D.
参考答案:
A
2. 如图,正方体中,两条异面直线BC1与CD1所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
C
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点D1,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再利用特殊三角板求出此角即可.
【解答】解:如图
将BC1平移至AD1处,
∠AD1C就是所求的角,又△AD1C为正三角形.
∴∠AD1C=60°.
故答案为60°.
故选C.
3. 设函数f(x)在处存在导数,则= ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
4. 的展开式的常数项是( )
A. 15 B. -15 C. 17 D. -17
参考答案:
C
的展开式的通项公式:,
分别令r?6=0,r?6=?2,
解得r=6,r=4.
∴的展开式的常数项是2×+1×=17.
故选:C.
点睛:二项展开式求常数项问题主要是利用好通项公式,在进行分类组合很容易解决,注意系数的正负.
5. 用数学归纳法证:(时)第二步证明中从“k到k+1”左边增加的项数是( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
参考答案:
D
【分析】
分别写出当,和时,左边的式子,分别得到其项数,进而可得出结果.
【详解】当时,左边,易知分母为连续正整数,所以,共有项;
当时,左边,共有项;
所以从“到”左边增加的项数是项.
故选D
【点睛】本题主要考查数学归纳法,熟记数学归纳法的一般步骤即可,属于常考题型.
6. 已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为2,抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点:双曲线的标准方程.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:由已知条件,根据双曲线的焦距排除A,B,再由抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切排除C.
解答: 解:∵双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为2,
∴排除选A和B,
∵的渐近线方程为y=±2x,
把y=2x代入抛物线y=+1,
得,
,
∴抛物线y=+1与y=2x不相切,由此排除C.
故选:D.
点评:本题考查双曲线标准方程的求法,在选择题中合理地运用排除法往往能化繁为简,节约答题时间.
7. 阅读下列程序框图,则输出的的值为( )
A.14 B.20 C.30 D.55
参考答案:
D
8. 命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是( )
A.对任意x∈R,都有x2<1 B.不存在x∈R,使得x2<1
C.存在x0∈R,使得x02≥1 D.存在x0∈R,使得x02<1
参考答案:
D
【考点】全称命题;命题的否定.
【分析】利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可.
【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,
所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是:存在x0∈R,使得.
故选:D.
9. PA、PB、PC是从P点引出的三条射线,每两条的夹角为60°,则直线PC与平面APB所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 某个命题与正整数有关,若当时该命题成立,那么可推得当时该命题也成立,现已知当时该命题不成立,那么可推得( )
A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立
C.当时,该命题成立 D.当时,该命题不成立
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线在点(0,0)处的切线方程为___________.
参考答案:
.
【分析】
本题根据导数的几何意义,通过求导数,确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解:
所以,
所以,曲线在点处的切线方程为,即.
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,二导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求.
12. 已知双曲线的右焦点为,则该双曲线的渐近线方程为 .
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】先根据焦点坐标求出待定系数a,从而得到双曲线的方程,在双曲线的标准方程中,把1换成0,即得该双曲线的渐近线方程.
【解答】解:∵双曲线的右焦点为,∴9+a=13,∴a=4,
∴双曲线的方程为:﹣=1,∴该双曲线的渐近线方程为 y=±x,
故答案为y=±x.
13. 已知直线l,m,平面α,β且l⊥α,m?β,给出四个命题:
①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l∥m;④若l∥m,则α⊥β.
其中真命题的个数是________.
参考答案:
①④
略
14. 如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条,这些直线中共有f(n)对异面直线,则f(4)=__________;f(n)=__________.(答案用数字或n的解析式表示)
参考答案:
考点:进行简单的合情推理.
专题:规律型.
分析:本题主要考查合情推理,以及经历试值、猜想、验证的推理能力.凸多面体是n棱锥,共有n+1个顶点,过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线,过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线(边或对角线),综合起来不难得到第一空的答案,因为底面上所有的直线均共面,故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线.
解答:解:凸多面体是n棱锥,共有n+1个顶点,
所以可以分为两类:侧棱共有n条,
底面上的直线(包括底面的边和对角线)条
两类合起来共有条.
在这些直线中,每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面,
底面上共有直线(包括底面的边和对角线)条,其中不过某个顶点的有=条
所以,f(n)=,f(4)=12.
故答案为:,12,.
考点:进行简单的合情推理.
专题:规律型.
分析:本题主要考查合情推理,以及经历试值、猜想、验证的推理能力.凸多面体是n棱锥,共有n+1个顶点,过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线,过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线(边或对角线),综合起来不难得到第一空的答案,因为底面上所有的直线均共面,故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线.
解答:解:凸多面体是n棱锥,共有n+1个顶点,
所以可以分为两类:侧棱共有n条,
底面上的直线(包括底面的边和对角线)条
两类合起来共有条.
在这些直线中,每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面,
底面上共有直线(包括底面的边和对角线)条,其中不过某个顶点的有=条
所以,f(n)=,f(4)=12.
故答案为:,12,.
点评:一题多空是高考数学卷中填空题的一种新形式,结合合情推理出现一题多空,较好地再现了推理的过程.三空的问题环环相扣,难易程度十分合理,前两空简单易求,第三空难度有所增加,需要学生具备较高层次的数学思维能力.本题以组合计算为工具,考查了类比与归纳、探索与研究的创新能力.
15. = .
参考答案:
令=y≥0,则(y≥0),∴表示的是上半圆在第一象限的部分的面积,其值等于,,
所以=+=.
考点:定积分.
16. 已知函数f(x)=loga(2﹣ax)(a>0,a≠1)在区间[0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(1,2)
17. 用辗转相除法可求得的最大公约数为
参考答案:
57
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数 且 是奇函数, .
(1)求函数 在[1,+∞)上的值域;
(2)若函数 在[1,+∞)上的最小值为-2,求实数m的值.
参考答案:
(1);(2)2
【分析】
(1)先求出参数k、a,再根据y=2x是增函数,y=2﹣x是减函数,则f(x)=2x﹣2﹣x在[1,+∞)上单调递增,从而得到函数的值域;
(2)设t=f(x),由(1)及题设知:,再根据含参数二次函数性质求解.
【详解】(1) 由题设知: 得 ,
是增函数 , 是减函数,
在 上单调递增.
∴所求值域为 ,即 .
(2) 设
即 在 上的最小值为 ,
∴当 时, ,得 ;
当 时, , ,得 ;
【点睛】本题考查指数型函数的图像与性质,考查学生分析问题解决问题的能力,考查换元法、分类讨论思想,属于中档题.
19. 已知全集U=R,A={x|x≥2},B={x|-1<x≤4}
(Ⅰ)求集合A∪B、A∩B;
(Ⅱ)求
参考答案:
解:(Ⅰ)∵ A={x|x≥2},B={x|-1<x≤4}
∴ A∪B={x|x>-1} ……………………………………………3分
A∩B={x|2≤x≤4}; …………………………………………6分
(Ⅱ)∵A∩B={x|2≤x≤4}
∴=CU(A∩B)={x|x<2或x>4} …………………12分
20. 如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为边长为2对的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.
(1)判定AE与PD是否垂直,并说明理由;
(2)若PA=2,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)判断垂直.证明AE⊥BC.PA⊥AE.推出AE⊥平面PAD,然后证明AE⊥PD.
(2)由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出平面AEF的一个法向量,平面AFC的一个法向量.通过向量的数量积求解二面角的余弦值.
【解答】解:(1)垂直.
证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,
可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.
又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
所以PA⊥AE.
而PA?平面PAD,AD?平面PAD且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD,又PD?平面PAD,
所以AE⊥PD.
(2)由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC,PC的中点,∴A(0,0,0),,,D(0,2,0),P(0,0,2),,,
所以,.
设平面AEF的一个法向量为,则,
因此,取z1=﹣1,则.
因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,
所以BD⊥平面AFC,故为平面AFC的一个法向量.
又,所以.
因为二面角E﹣AF﹣C为锐角,所以所求二面角的余弦值为.
21. 命题:已知a、b为实数,若x2+ax+b≤0有非空解集,则a2﹣4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【分析】原命题中,a、b为实数是前提,条件是x2+ax+b≤0有非空解集(即不等式有解),结论是a2﹣4b≥0,由四种命题的关系可得出
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