浙江省衢州市高级中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析

浙江省衢州市高级中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(   ) A.      B. 6        C.      D. 参考答案： A 2. 如图，正方体中，两条异面直线BC1与CD1所成的角是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： C 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点D1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用特殊三角板求出此角即可． 【解答】解：如图 将BC1平移至AD1处， ∠AD1C就是所求的角，又△AD1C为正三角形． ∴∠AD1C=60°． 故答案为60°． 故选C． 3. 设函数f(x)在处存在导数，则＝ (　　) A． B． C. D. 参考答案： C 4. 的展开式的常数项是（    ） A. 15 B. -15 C. 17 D. -17 参考答案： C 的展开式的通项公式：， 分别令r?6=0，r?6=?2， 解得r=6，r=4. ∴的展开式的常数项是2×+1×=17. 故选：C. 点睛：二项展开式求常数项问题主要是利用好通项公式，在进行分类组合很容易解决，注意系数的正负. 5. 用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“k到k+1”左边增加的项数是（   ） A. 项 B. 项 C. 项 D. 项 参考答案： D 【分析】 分别写出当，和时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果. 【详解】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项； 当时，左边，共有项； 所以从“到”左边增加的项数是项. 故选D 【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型. 6. 已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 考点：双曲线的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由已知条件，根据双曲线的焦距排除A，B，再由抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切排除C． 解答： 解：∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦距为2， ∴排除选A和B， ∵的渐近线方程为y=±2x， 把y=2x代入抛物线y=+1， 得， ， ∴抛物线y=+1与y=2x不相切，由此排除C． 故选：D． 点评：本题考查双曲线标准方程的求法，在选择题中合理地运用排除法往往能化繁为简，节约答题时间． 7. 阅读下列程序框图，则输出的的值为（   ） A.14          B.20         C.30           D.55 参考答案： D 8. 命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（　　） A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1 C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜1 参考答案： D 【考点】全称命题；命题的否定． 【分析】利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得． 故选：D． 9. PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为(       ) A． B． C． D． 参考答案： A 10. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得(    ) A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题成立 D．当时，该命题不成立 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 曲线在点(0,0)处的切线方程为___________． 参考答案： . 【分析】 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解： 所以， 所以，曲线在点处的切线方程为，即． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 12. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】先根据焦点坐标求出待定系数a，从而得到双曲线的方程，在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得该双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线的右焦点为，∴9+a=13，∴a=4， ∴双曲线的方程为：﹣=1，∴该双曲线的渐近线方程为 y=±x， 故答案为y=±x． 13. 已知直线l，m，平面α，β且l⊥α，m?β，给出四个命题： ①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β. 其中真命题的个数是________． 参考答案： ①④ 略 14. 如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=__________；f（n）=__________．（答案用数字或n的解析式表示） 参考答案： 考点：进行简单的合情推理． 专题：规律型． 分析：本题主要考查合情推理，以及经历试值、猜想、验证的推理能力．凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线，过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线（边或对角线），综合起来不难得到第一空的答案，因为底面上所有的直线均共面，故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线． 解答：解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点， 所以可以分为两类：侧棱共有n条， 底面上的直线（包括底面的边和对角线）条 两类合起来共有条． 在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面， 底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条 所以，f（n）=，f（4）=12． 故答案为：，12，． 考点：进行简单的合情推理． 专题：规律型． 分析：本题主要考查合情推理，以及经历试值、猜想、验证的推理能力．凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线，过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线（边或对角线），综合起来不难得到第一空的答案，因为底面上所有的直线均共面，故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线． 解答：解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点， 所以可以分为两类：侧棱共有n条， 底面上的直线（包括底面的边和对角线）条 两类合起来共有条． 在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面， 底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条 所以，f（n）=，f（4）=12． 故答案为：，12，． 点评：一题多空是高考数学卷中填空题的一种新形式，结合合情推理出现一题多空，较好地再现了推理的过程．三空的问题环环相扣，难易程度十分合理，前两空简单易求，第三空难度有所增加，需要学生具备较高层次的数学思维能力．本题以组合计算为工具，考查了类比与归纳、探索与研究的创新能力． 15. =        . 参考答案： 令=y≥0，则（y≥0），∴表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于，， 所以=+=. 考点：定积分. 16. 已知函数f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： (1,2) 17. 用辗转相除法可求得的最大公约数为         参考答案： 57 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 且 是奇函数， . （1）求函数 在[1,+∞)上的值域； （2）若函数 在[1,+∞)上的最小值为－2，求实数m的值. 参考答案： （1）；（2）2 【分析】 （1）先求出参数k、a，再根据y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则f（x）＝2x﹣2﹣x在[1，+∞）上单调递增，从而得到函数的值域； （2）设t＝f（x），由（1）及题设知：，再根据含参数二次函数性质求解． 【详解】(1) 由题设知： 得  ， 是增函数 ， 是减函数， 在 上单调递增. ∴所求值域为 ,即 . (2) 设 即 在 上的最小值为 ， ∴当 时， ，得 ； 当 时， ， ，得 ； 【点睛】本题考查指数型函数的图像与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，考查换元法、分类讨论思想，属于中档题. 19. 已知全集U=R，A={x|x≥2}，B={x|-1＜x≤4} （Ⅰ）求集合A∪B、A∩B； （Ⅱ）求 参考答案： 解：（Ⅰ）∵ A={x|x≥2}，B={x|-1＜x≤4}          ∴ A∪B={x|x＞-1}    ……………………………………………3分             A∩B={x|2≤x≤4}；  …………………………………………6分 （Ⅱ）∵A∩B={x|2≤x≤4}      ∴=CU(A∩B)={x|x＜2或x＞4} …………………12分 20. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点． （1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由； （2）若PA=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）判断垂直．证明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后证明AE⊥PD． （2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量．通过向量的数量积求解二面角的余弦值． 【解答】解：（1）垂直． 证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°， 可得△ABC为正三角形． 因为E为BC的中点，所以AE⊥BC． 又BC∥AD，因此AE⊥AD． 因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD， 所以PA⊥AE． 而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A， 所以AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD， 所以AE⊥PD． （2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，， 所以，． 设平面AEF的一个法向量为，则， 因此，取z1=﹣1，则． 因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， 所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量． 又，所以． 因为二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为． 21. 命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b≤0有非空解集，则a2﹣4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【分析】原命题中，a、b为实数是前提，条件是x2+ax+b≤0有非空解集（即不等式有解），结论是a2﹣4b≥0，由四种命题的关系可得出