浙江省金华市苏孟中学高三数学理模拟试卷含解析

浙江省金华市苏孟中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （　　） Ａ．等于                          Ｂ．等于                         Ｃ．等于                        Ｄ．不存在 参考答案： 答案： B 2. 已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为（　　）        A．                                        B．            C．                                        D． 参考答案： C 3. 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 A．          B．          C．          D． 参考答案： D 略 4. 已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为 （A）6    （B）7     （C）8      （D）9 参考答案： B 因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为7个,选B. 5. 在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足=1，则的取值范围是 A.     B.      C. [-2,2]     D. 参考答案： D 根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示 则A（0，2），B（2，0），C（0，0）， 由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上， 设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）； 则 =（cosθ，sinθ）， 又 + =（2，2）； ∴ ?（ + ）=2cosθ+2sinθ=2 sin（θ+ ）， 当θ+= ，即θ=时， ?（ + ）取得最大值2， 当θ+= ，即θ= 时， ?（ + ）取得最小值﹣2， ∴ ?（ + ）的取值范围是[﹣2，2]． 故选：D．   6. 已知函数满足:①定义域为R;  ②,有; ③当 时,,则方程在区间[-10,10]内的解个数是（　　） A．20 B．10 C．11 D．12 参考答案： C 略 7. 设满足,若目标函数的最小值为2,则的最大值为 A.             B.            C.1             D.2 参考答案： A 8. 命题“?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2”的否定形式是（　　） A．?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2 参考答案： C 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2的否定?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2， 故选：C． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 9. 设函数，则下列结论错误的是………………………………………（　　） A．的值域为 B．是偶函数 C．不是周期函数 D．不是单调函数 参考答案： C 因为，所以函数的周期是，即是周期函数，所以C错误。选C. 10. 如图，在复平面中，复数、分别对应点、，则  A.      B.    C.    D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是_______________. 参考答案： 2 略 12. 已知可导函数的导函数的部分图象如右图 所示,则函数的部分图象可能是(  ) 参考答案： A 13. 根据下面一组等式： S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=15 S4=7+8+9+10=34 S5=11+12+13+14+15=65 S6=16+17+18+19+20+21=111 S7=22+23+24+25+26+27+28=175 … 可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1=　  　． 参考答案： n4 【考点】归纳推理． 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式，可得Sn=（n3+n），再以2n﹣1代替n，得S2n﹣1=4n3﹣6n2+4n﹣1，结合和的特点可以求解． 【解答】解：由题中数阵的排列特征，设第i行的第1个数记为ai（i=1，2，3…n） 则a2﹣a1=1 a3﹣a2=2 a4﹣a3=3 … an﹣an﹣1=n﹣1 以上n﹣1个式子相加可得，an﹣a1=1+2+…+（n﹣1）=×（n﹣1）= ∴an=+1 Sn共有n连续正整数相加，并且最小加数为 +1，最大加数 ∴Sn=n?×+×（﹣1）=（n3+n） ∴S2n﹣1= [（2n﹣1）3+（2n﹣1）]=4n3﹣6n2+4n﹣1 ∴S1=1 S1+S3=16=24 S1+S3+S5=81=34 ∴S1+S3+…+S2n﹣1=1+15+65+…+4n3﹣6n2+4n﹣1 =n4． 故答案：n4 　 14. 函数y=（2x﹣1）3的图象在（0，﹣1）处的切线的斜率是__________． 参考答案： 6 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的概念及应用． 分析：求得函数的导数，由导数的几何意义，将x=0代入即可得到所求切线的斜率． 解答： 解：函数y=（2x﹣1）3的导数为y′=6（2x﹣1）2， 即有图象在（0，﹣1）处的切线的斜率是6×（﹣1）2=6． 故答案为：6． 点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，理解导数的几何意义和正确求导是解题的关键． 15. 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为  ；表面积为 ． 参考答案： ； 16. 设实数x，y满足，则的最大值为        。 参考答案： 2 17. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 参考答案： 60 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (满分12分) 已知函数． （1）若，求的值； （2）求的单调增区间． 参考答案： （2）单调递增，故，…………       10分 即，……………      11分 从而的单调增区间为．……………  12分   19. 已知函数f（x）=xlnx． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 【分析】（1）根据导数和函数的单调的关系即可得到． （2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，即为k＜lnx+，x＞0，令g（x）=lnx+，x＞0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到k的范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx． ∴f′（x）=1+lnx， 当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0． 所以函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增． （2）由于x＞0，f（x）＞kx﹣恒成立， ∴k＜lnx+． 构造函数k（x）=lnx+． ∴k′（x）=﹣=． 令k′（x）=0，解得x=， 当x∈（0，）时，k′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，k′（x）＞0． ∴函数k（x）在点x=处取得最小值，即k（）=1﹣ln2． 因此所求的k的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）． 20. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC， （I）求角C的大小； （II）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小． 参考答案： 【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性． 【分析】（I）△ABC中，由csinA=acosC，由正弦定理可得tanC=1，从而求得C的值． （II）由上可得B=﹣A，利用两角和的正弦公式把要求的式子化为2sin（A+），再根据＜A+＜，求得所求式子的最大值，以及最大值时角A，B的大小． 【解答】解：（I）△ABC中，∵csinA=acosC，由正弦定理可得 sinCsinA=sinAcosC，∴tanC=1，∴C=． （II）由上可得B=﹣A，∴sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）． ∵0＜A＜，∴＜A+＜， ∴当 A+=时，所求的式子取得最大值为 2，此时，A=，B=． 21. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，ABCD是边长为2的菱形， 且是PA的中点， 平面PAC平面ABCD. (Ⅰ)求证：平面BDE； (Ⅱ)求二面角的余弦值. 参考答案： （Ⅰ）设，连接，                                  ∵分别为的中点，∴，                     …………1分 ∵平面，平面，                          …………3分 ∴平面.                                            …………3分 （Ⅱ）中，，， 由余弦定理（或平几知识）可求得.                      在中，∵ 满足， ∴所以,                                               …………4分 又∵平面平面且平面平面，     …………5分 ∴平面.                                           …………5分 方法一： 如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，                   …………6分 则, .………7分 设平面的一个法向量为， 则，整理，得， 令，得.                                   …………9分 设平面的一个法向量为， 则整理，得， 令，得，                                    …………10分 则， 所以二面角大小的余弦值为.                       …………12分 方法二：前同解法1.                    …………5分 故，                …………6分 又∵， ∴所以，故, ∴所以.                      …………7分 同理可证，                   …………8分 ∴是二面角的平面角.  …………9分 又∵， ∴，         …………11分 所以，即二面角的余弦值为.    …………12分 22. （本小题满分13分）        某次月考数学第Ⅰ卷共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准为：“每题只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错得0分。”