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浙江省金华市苏孟中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
( )
A.等于 B.等于 C.等于 D.不存在
参考答案:
答案: B
2. 已知是定义在R上的偶函数,且恒成立,当时,,则当时,函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
3. 假设在5秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机,若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 已知是上最小正周期为2的周期函数,且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
参考答案:
B
因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数,且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为7个,选B.
5. 在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,,点P为三角形ABC所在平面上一动点,且满足=1,则的取值范围是
A. B. C. [-2,2] D.
参考答案:
D
根据题意,建立平面直角坐标系,如图所示
则A(0,2),B(2,0),C(0,0),
由||=1知,点P在以B为圆心,半径为1的圆上,
设P(2+cosθ,sinθ),θ∈[0,2π);
则 =(cosθ,sinθ),
又 + =(2,2);
∴ ?( + )=2cosθ+2sinθ=2 sin(θ+ ),
当θ+= ,即θ=时, ?( + )取得最大值2,
当θ+= ,即θ= 时, ?( + )取得最小值﹣2,
∴ ?( + )的取值范围是[﹣2,2].
故选:D.
6. 已知函数满足:①定义域为R; ②,有; ③当 时,,则方程在区间[-10,10]内的解个数是( )
A.20 B.10 C.11 D.12
参考答案:
C
略
7. 设满足,若目标函数的最小值为2,则的最大值为
A. B. C.1 D.2
参考答案:
A
8. 命题“?x∈R,?n∈N*,使得n>x2”的否定形式是( )
A.?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2 B.?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2
C.?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2 D.?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2
参考答案:
C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题,则命题?x∈R,?n∈N*,使得n>x2的否定?x∈R,?n∈N*,使得n≤x2,
故选:C.
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
9. 设函数,则下列结论错误的是………………………………………( )
A.的值域为 B.是偶函数
C.不是周期函数 D.不是单调函数
参考答案:
C
因为,所以函数的周期是,即是周期函数,所以C错误。选C.
10. 如图,在复平面中,复数、分别对应点、,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若实数满足不等式组,则目标函数的最大值是_______________.
参考答案:
2
略
12. 已知可导函数的导函数的部分图象如右图
所示,则函数的部分图象可能是( )
参考答案:
A
13. 根据下面一组等式:
S1=1
S2=2+3=5
S3=4+5+6=15
S4=7+8+9+10=34
S5=11+12+13+14+15=65
S6=16+17+18+19+20+21=111
S7=22+23+24+25+26+27+28=175
…
可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1= .
参考答案:
n4
【考点】归纳推理.
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式,可得Sn=(n3+n),再以2n﹣1代替n,得S2n﹣1=4n3﹣6n2+4n﹣1,结合和的特点可以求解.
【解答】解:由题中数阵的排列特征,设第i行的第1个数记为ai(i=1,2,3…n)
则a2﹣a1=1
a3﹣a2=2
a4﹣a3=3
…
an﹣an﹣1=n﹣1
以上n﹣1个式子相加可得,an﹣a1=1+2+…+(n﹣1)=×(n﹣1)=
∴an=+1
Sn共有n连续正整数相加,并且最小加数为 +1,最大加数
∴Sn=n?×+×(﹣1)=(n3+n)
∴S2n﹣1= [(2n﹣1)3+(2n﹣1)]=4n3﹣6n2+4n﹣1
∴S1=1
S1+S3=16=24
S1+S3+S5=81=34
∴S1+S3+…+S2n﹣1=1+15+65+…+4n3﹣6n2+4n﹣1
=n4.
故答案:n4
14. 函数y=(2x﹣1)3的图象在(0,﹣1)处的切线的斜率是__________.
参考答案:
6
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:导数的概念及应用.
分析:求得函数的导数,由导数的几何意义,将x=0代入即可得到所求切线的斜率.
解答: 解:函数y=(2x﹣1)3的导数为y′=6(2x﹣1)2,
即有图象在(0,﹣1)处的切线的斜率是6×(﹣1)2=6.
故答案为:6.
点评:本题考查导数的运用:求切线的斜率,理解导数的几何意义和正确求导是解题的关键.
15. 一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ;表面积为 .
参考答案:
;
16. 设实数x,y满足,则的最大值为 。
参考答案:
2
17. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
参考答案:
60
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (满分12分) 已知函数.
(1)若,求的值;
(2)求的单调增区间.
参考答案:
(2)单调递增,故,………… 10分
即,…………… 11分
从而的单调增区间为.…………… 12分
19. 已知函数f(x)=xlnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)对于任意正实数x,不等式f(x)>kx﹣恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.
【分析】(1)根据导数和函数的单调的关系即可得到.
(2)对于任意正实数x,不等式f(x)>kx﹣恒成立,即为k<lnx+,x>0,令g(x)=lnx+,x>0,求出导数,求得单调区间,得到极小值也为最小值,即可得到k的范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=xlnx.
∴f′(x)=1+lnx,
当x∈(0,)时,f′(x)<0;当x∈(,+∞)时,f′(x)>0.
所以函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
(2)由于x>0,f(x)>kx﹣恒成立,
∴k<lnx+.
构造函数k(x)=lnx+.
∴k′(x)=﹣=.
令k′(x)=0,解得x=,
当x∈(0,)时,k′(x)<0,当x∈(,+∞)时,k′(x)>0.
∴函数k(x)在点x=处取得最小值,即k()=1﹣ln2.
因此所求的k的取值范围是(﹣∞,1﹣ln2).
20. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA=acosC,
(I)求角C的大小;
(II)求sinA﹣cos(B+)的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.
参考答案:
【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.
【分析】(I)△ABC中,由csinA=acosC,由正弦定理可得tanC=1,从而求得C的值.
(II)由上可得B=﹣A,利用两角和的正弦公式把要求的式子化为2sin(A+),再根据<A+<,求得所求式子的最大值,以及最大值时角A,B的大小.
【解答】解:(I)△ABC中,∵csinA=acosC,由正弦定理可得 sinCsinA=sinAcosC,∴tanC=1,∴C=.
(II)由上可得B=﹣A,∴sinA﹣cos(B+)=sinA+cosA=2sin(A+).
∵0<A<,∴<A+<,
∴当 A+=时,所求的式子取得最大值为 2,此时,A=,B=.
21. (本小题满分12分)如图,四棱锥中,ABCD是边长为2的菱形,
且是PA的中点,
平面PAC平面ABCD.
(Ⅰ)求证:平面BDE;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)设,连接,
∵分别为的中点,∴, …………1分
∵平面,平面, …………3分
∴平面. …………3分
(Ⅱ)中,,,
由余弦定理(或平几知识)可求得.
在中,∵ 满足,
∴所以, …………4分
又∵平面平面且平面平面, …………5分
∴平面. …………5分
方法一:
如图,以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系, …………6分
则,
.………7分
设平面的一个法向量为,
则,整理,得,
令,得. …………9分
设平面的一个法向量为,
则整理,得,
令,得, …………10分
则,
所以二面角大小的余弦值为. …………12分
方法二:前同解法1. …………5分
故, …………6分
又∵,
∴所以,故,
∴所以. …………7分
同理可证, …………8分
∴是二面角的平面角. …………9分
又∵,
∴, …………11分
所以,即二面角的余弦值为. …………12分
22. (本小题满分13分)
某次月考数学第Ⅰ卷共有8道选择题,每道选择题有4个选项,其中只有一个是正确的;评分标准为:“每题只有一个选项是正确的,选对得5分,不选或选错得0分。”
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