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湖北省恩施市市第二中学2023年高二数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若命题“p∧q”为假,且“¬p”为假,则( )
A.p或q为假 B.q假
C.q真 D.不能判断q的真假
参考答案:
B
【考点】复合命题的真假.
【分析】根据复合命题的真值表,先由“?p”为假,判断出p为真;再根据“p∧q”为假,判断q为假.
【解答】解:因为“?p”为假,
所以p为真;
又因为“p∧q”为假,
所以q为假.
对于A,p或q为真,
对于C,D,显然错,
故选B.
2. “”是“”的 ( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
3. 已知等差数列中,,,则它的前9项和的值为( )
A.144 B.108 C.72 D.54
参考答案:
C
4. 顶点为原点,焦点为的抛物线方程是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. “a=-2”是“直线ax+2y=0平行于直线y=1+x”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
6. 已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n,有下列四个命题:
①若; ②若;
③若; ④若.
其中正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
D
7. 某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )
A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96
参考答案:
D
8. 若是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
B
略
9. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,则椭圆的离心率等于( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的不同选法共 ( )种。
A 27 B 48 C 21 D 24
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数在内有定义,对于给定的正数,定义函数:
,取函数,若对任意的 ,恒有,则的最小值为 .
参考答案:
1
略
12. 设抛物线的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于两点,若为等边三角形,的面积为,则的值为 ,圆的方程为 .
参考答案:
3,
13. 在等比数列{an}中,a1=1,公比q=2,若{an}前n项和Sn=127,则n的值为 .
参考答案:
7
【考点】等比数列的前n项和.
【专题】计算题.
【分析】由等比数列的前n项和公式可得,127=解方程可求n
【解答】解:由等比数列的前n项和公式可得,127=
解可得,n=7
故答案为:7
【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的 简单运用,属于基础试题.
14. 已知F是双曲线的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .
参考答案:
9
【考点】双曲线的定义;双曲线的简单性质;双曲线的应用.
【分析】根据A点在双曲线的两支之间,根据双曲线的定义求得a,进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案.
【解答】解:∵A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),
∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5
两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立.
故答案为9.
【点评】本题主要考查了双曲线的定义,考查了学生对双曲线定义的灵活运用.
15. 非空集合G关于运算满足:(1)对任意的都有(2)存在都有则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算:
① G={非负整数},为整数的加法。
② G={偶数},为整数的乘法。
G={平面向量},为平面向量的加法。ks5u
③
④ G={虚数},为复数的乘法。
其中G关于运算为“融洽集”的是________。(写出所有“融洽集”的序号)
参考答案:
①③
16. 已知方程表示双曲线,则m的取值范围是__________________.
参考答案:
略
17. 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴同时建立极坐标系,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),则在曲线上点到直线上点的最小距离为___________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)已知函数,当时,有极大值;
(1)求的值;
(2)求函数的极小值。
参考答案:
(1)当时,
,
即
(2),
令,得
19. (13分)已知等差数列满足:,,的前n项和为.
(1)求及;
(2)令(nN*),求数列的前n项和.
参考答案:
(1)设等差数列的公差为d,因为,,所以有
,解得,
所以;==..。。。。。。。6分
(2)由(1)知,所以bn===,
所以==,
即数列的前n项和=.。。。。。。。。。。。13分
20. 等比数列的各项均为正数,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
参考答案:
解:(1)设数列的公比为,
由得所以.
由条件可知,故.
由得,所以.
故数列的通项式为.
(2)
故
所以数列的前项和为.
21. 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,,底面ABCD是直角梯形,.
(1)求证:BC⊥平面PBD;
(2)设E为侧棱PC上一点,,试确定的值,使得二面角的大小为45°.
参考答案:
(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)根据线面垂直的判定定理,即可证明结论成立;
(2)先由(1)得两两垂直,以点为坐标原点,以方向分别为轴,轴,轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,根据向量夹角余弦值与二面角的大小,即可求出结果.
【详解】(1)因为侧面底面,,
所以底面,所以;
又底面是直角梯形,,
所以,
因此,所以;
又,且平面,平面,
所以平面;
(2)由(1)可得两两垂直,
因此以点为坐标原点,以方向分别为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系;
则,,,,
则,,,
由(1)可知平面;所以为平面的一个法向量;
又因为,
所以,
设平面的一个法向量为,
则,即,令,则,即,
所以,
又二面角的大小为,
所以,化简整理得,
解得,
因为为侧棱上一点,所以,
因此.
【点睛】本题主要考查线面垂直的证明,以及由二面角求其它量的问题,熟记线面垂直的判定定理,以及向量的方法求二面角即可,属于常考题型.
22. 已知函数,其中a∈R.
(Ⅰ)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.
【分析】(Ⅰ).令f'(2)=0,能求出a的值.
(Ⅱ)当a=0时,.故f(x)的单调增区间是(0,+∞);单调减区间是(﹣1,0).当a>0时,令f'(x)=0,得x1=0,或.当0<a<1时,列表讨论f(x)与f'(x)的情况能求出f(x)的单调区间.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(0)=0,知不合题意.当0<a<1时,f(x)在(0,+∞)的最大值是,由,知不合题意.当a≥1时,f(x)在(0,+∞)单调递减,可得f(x)在[0,+∞)上的最大值是f(0)=0,符合题意.由此能求出f(x)在[0,+∞)上的最大值是0时,a的取值范围是[1,+∞).
【解答】(理)(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:.
依题意,令f'(2)=0,解得.
经检验,时,符合题意.…(4分)
(Ⅱ)解:①当a=0时,.
故f(x)的单调增区间是(0,+∞);单调减区间是(﹣1,0).
②当a>0时,令f'(x)=0,得x1=0,或.
当0<a<1时,f(x)与f'(x)的情况如下:
x
(﹣1,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f'(x)
﹣
0
+
0
﹣
f(x)
↘
f(x1)
↗
f(x2)
↘
所以,f(x)的单调增区间是;单调减区间是(﹣1,0)和.
当a=1时,f(x)的单调减区间是(﹣1,+∞).
当a>1时,﹣1<x2<0,f(x)与f'(x)的情况如下:
x
(﹣1,x2)
x2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f'(x)
﹣
0
+
0
﹣
f(x)
↘
f(x2)
↗
f(x1)
↘
所以,f(x)的单调增区间是;单调减区间是和(0,+∞).
③当a<0时,f(x)的单调增区间是(0,+∞);单调减区间是(﹣1,0).
综上,当a≤0时,f(x)的增区间是(0,+∞),减区间是(﹣1,0);
当0<a<1时,f(x)的增区间是,减区间是(﹣1,0)和;
当a=1时,f(x)的减区间是(﹣1,+∞);
当a>1时,f(x)的增区间是;减区间是和(0,+∞).
…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(0)=0,知不合题意.
当0<a<1时,f(x)在(0,+∞)的最大值是,
由,知不合题意.
当a≥1时,f(x)在(0,+∞)单调递减,
可得f(x)在[0,+∞)上的最大值是f(0)=0,符合题意.
所以,f(x)在[0,+∞)上的最大值是0时,a的取值范围是[1,+∞).…(12分)
【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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