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湖北省咸宁市赤壁中伙铺镇中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知平面向量,,与垂直,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 集合,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是( )
参考答案:
C
4. 在区间〔﹣1,1〕上随机取一个数x,使sin的值介于0到之间的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】几何概型.
【专题】应用题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】求出0≤sin≤的解集,根据几何概型的概率公式,即可求出对应的概率.
【解答】解:当﹣1<x<1,则﹣<<,
由0≤sin≤,
∴0≤≤π,
即0≤x≤,
则sin的值介于0到之间的概率P==,
故选:B.
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,根据三角函数的性质求出对应的x的取值范围是解决本题的关键.
5. 设等差数列的前n项和为,若,则=
A.3 B. 4 C. 5 D.6
参考答案:
B
略
6. 若复数z满足方程Z2 +2 =0,则z=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍,所得函数g(x)图象的一个对称中心可以是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】根据y=Asin(ωx+?)的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin(x+),由x+=kπ,k∈z,可得对称中心的横坐标,从而得出结论.
【解答】解:∵,
∴由,∴,
令.
故选:C.
8. 下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是( )
A. 16 B. 18 C. 30 D. 31
参考答案:
D
【分析】
按照程序框图运行程序,直到时输出结果即可.
【详解】按照程序框图执行程序,输入:,
则:,不满足,循环;
,,不满足,循环;
,,不满足,循环;
,,满足,输出结果:
本题正确选项:
【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果问题,属于基础题.
9. 已知且,则( )
A. B. ±7 C.或-7 D.或7
参考答案:
C
10. 已知集合A={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2≤3},则A∩B=.( )
A.{0,2} B.{﹣1,0,1}
C.{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2} D.[0,2]
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.
【解答】解:由B中不等式解得:﹣<x<,即B=(﹣,),
∵A={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2},
∴A∩B={﹣1,0,1},
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点P(﹣2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为 .
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】利用过点P(﹣2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,求出A的坐标,即可求出点A到抛物线C的焦点的距离.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则分别过A,B作直线x=﹣2的垂线,垂足分别为D,E.
∵|PA|=|AB|,
∴3(x1+2)=x2+2,3y1=y2,
∴x1=,
∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=.
故答案为:.
【点评】本题考查抛物线的定义,考查学生的计算能力,解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标.
12. 若对任意,有唯一确定的与之对应,则称为关于,的二元函数,现定义满足下列性质的为关于实数,的广义“距离”.
()非负性:,当且仅当时取等号;
()对称性:;
()三角形不等式:对任意的实数均成立.
给出三个二元函数:①;②;③,
则所有能够成为关于,的广义“距离”的序号为__________.
参考答案:
①
①,满足()非负性,
,满足()对称性,
,
满足()三角形不等式,故①能够成为关于,的广义“距离”.
②不妨设,则有,此时有,
而,故不成立,
所以不满足()三角形不等式,故②不能成为关于,的广义“距离”.
③由于时,无意义,故③不满足.
综上,故正确答案是:①.
13. 若变量x、y满足约束条件,则z=y﹣x的最小值为 .
参考答案:
﹣4
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(8,4),
化目标函数z=y﹣x,得y=x+z,
由图可知,当直线y=x+z过点A(8,4)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为﹣4.
故答案为:﹣4.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
11.利用计算机产生之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为________.
参考答案:
试题分析:由得,所以,“”发生的概率为=.
考点:随机数,几何概型概率的计算.
15. 平面,,两两垂直且交于一点O,若空间有一点P到这三个平面的距离分别是3、4、12则点P到点O的距离为________.
参考答案:
.
试题分析:由题意得,点到点的距离为,故填:.
考点:立体几何中的距离.
已知,均为锐角,且,,则 ,= .
【答案】,.
【解析】
考点:三角恒等变形.
【方法点睛】熟知一些恒等变换的技巧:①公式的正用、逆用及变形用;②熟悉角的拆拼技巧,理解倍角与半角是相对的,如,,是的半角,是的倍角等;③在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,尤其要重视常数“1”的各种变形,例如:,等;④在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的.
16. (几何证明选讲选做题)如图,是⊙的直径,是延长线上的一点,过作⊙的切线,切点为,,若,则⊙的直径__________
参考答案:
4
17. 若实数满足不等式组则的最小值是 .
参考答案:
4
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 已知函数
(I)求函数的最小正周期及在区间上的值域;
(Ⅱ)在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,又面积,求边长a的值.
参考答案:
19. 已知数列{an},,,记,,
,若对于任意,A(n),B(n),C(n)成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{|an|}的前n项和.
参考答案:
解:(Ⅰ)根据题意A(n), B(n), C(n)成等差数列, ∴A(n)+ C(n)=2 B(n); ...................2分
整理得 ,
∴数列{an}是首项为,公差为3的等差数列. …………………………………………4分
∴;.....................……………………………………………….....6分
(Ⅱ) , 记数列的前n项和为Sn.
当时, ;…………………………………9分
当时, ;…………………….11分
综上,. …………………………………………..12分
20. 如图,AB是⊙O的直径,C、E为⊙O上的点,CA平分∠BAE,CF⊥AB,F是垂足,CD⊥AE,交AE延长线于D.
(I)求证:DC是⊙O的切线;
(Ⅱ)求证:AF.FB=DE.DA.
参考答案:
(Ⅰ)连结,,
,为圆的切线 ……5分
(Ⅱ)与全等,,
……10分
略
21. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD,
(Ⅰ)求证:平面PED⊥平面PAC;
(Ⅱ)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
参考答案:
【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.
【分析】(I)由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD,从而得到AB、AD、AP两两垂直,因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立坐标系o﹣xyz,得A、D、E、C、P的坐标,进而得到、、的坐标.由数量积的坐标运算公式算出且,从而证出DE⊥AC且DE⊥AP,结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC,从而得到平面PED⊥平面PAC;
(II)由(Ⅰ)得平面PAC的一个法向量是,算出、夹角的余弦,即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值,由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2.利用垂直向量数量积为零的方法,建立方程组算出=(1,﹣1,﹣1)是平面平面PCD的一个法向量,结合平面PAC的法向量,算出、的夹角余弦,再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
【解答】解:(Ⅰ)∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA
∴PA⊥平面ABCD
结合AB⊥AD,可得
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系o﹣xyz,如图所示…
可得A(0,0,0)D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),
P(0,0,λ) (λ>0)
∴,,
得,,
∴DE⊥AC且DE⊥AP,
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线,∴ED⊥平面PAC.
∵ED?平面PED∴平面PED⊥平面PAC
(Ⅱ)由(Ⅰ)得平面PAC的一个法向量是,
设直线PE与平面PAC所成的角为θ,
则,解之得λ=±2
∵λ>0,∴λ=2,可得P的坐标为(0,0,2)
设平面PCD的一个法向量为=(x0,y0,z0),,
由, ,得到,
令x0=1,可得y0=z0=﹣1,得=(1,﹣1,﹣1)
∴cos<,
由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角,
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为.
22. (本小题满分12分) 已知四棱柱中所有棱长都为2,底面ABCD为正方形,侧面DD1C1C⊥底面ABCD,∠D1DC=60°
(Ι)证明: 平面CDD1C1⊥平面DAA1D1;
(Ⅱ)若O为底面ABCD的对角线交点,求四面体B1—A1OC1的体积.
参考答案:
(Ⅰ)取中点,易证,又因为所以面.
(Ⅱ)
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