浙江省金华市荷叶塘中学2022年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
以分别表示等差数列的前项和，若，则的值为（ ）
(A) 7 (B) (C) (D)
参考答案：
答案:B
2. 若是所在平面内的一点，且满足，则一定是（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 斜三角形
参考答案：
C
由得,即，所以,所以三角形为直角三角形，选C.
3. 在R上定义运算：xy=x(1-y) ．若不等式对任意的实数都成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．-1
0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值（）
A.2 B.3 C.6 D.9
参考答案：
D
函数的导数为，函数在处有极值，则有，即，所以，即，当且仅当时取等号，选D.
7. 设，则
A. B.
C. D.
参考答案：
8. 已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有 ，那么k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．
【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．
【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB
∵，
∴
∴
∵
∴
∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，
∴
∴4＞
∴4＞
∵k＞0，∴
故选C．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
9. 在中，已知， ，则为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角非等边三角形 D． 钝角三角形
参考答案：
B
略
10. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若关于的不等式的解集为，其中，为常数，则
参考答案：
-14
12. 在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ．
参考答案：
【知识点】弧度制.C1
【答案解析】2 解析：解：由扇形的面积公式可知，再由，所以所对的圆心角弧度数为2.
【思路点拨】根据已知条件中的面积可求出弧长，再利用弧度制的概念可求出弧度数.
13. ．若点在直线上，则 .
参考答案：
-2
略
14. 已知函数，若存在，使得，则正整数n的最大值为 ．
参考答案：
8
15. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：
①函数的极大值点为，；
②函数在上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数有个零点；
⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是 ．
参考答案：
①②⑤
16. 如图，是半径为1的圆的直径，△ABC是边长为1的正三角形，则的最大值为 ．
参考答案：
由图可知，，
从而，记，
则
故当时，的最大值为。
17. 已知，则的最小值是 .
参考答案：
【答案解析】-4 解析：画出可行域，平移目标函数为0的直线y=2x，得目标函数取得最小值的最优解是直线x+y+2=0与直线x-3y+2=0的交点A(-2，0),所以目标函数的最小值为：
.
【思路点拨】画出可行域，平移目标函数为0的直线y=2x，得目标函数取得最小值的最优解是方程组的解，所以目标函数的最小值为-4.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x3+（a+1）x2+ax﹣2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与y=（k﹣1）ex+2x﹣2有唯一公共点．
参考答案：
略
19. 已知数列{an}满足：，。
（1）求a1，a2及数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：，，求数列{bn}的通项公式。
参考答案：
（1）时，………………………………………………………1分
时……………………………………………2分
①
②…………………………4分
①2×②……………………………………………6分
满足上式，故.……………………………………………7分
（2），有累加整理…………9分
① …………………10分
② ………………12分
②① 得……14分
满足上式，故.….… ….….….….….….….….…15分
20. （本小题满分13分）
如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD。
（Ⅰ）求证：ED⊥BC；
（Ⅱ）记CD=x，当三棱锥F－ABD的体积V（x）取得最大值时，求直线EB与平面DBF所成角的正弦值。
参考答案：
略
21. 极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C2的参数方程为，t为参数，0≤α＜π；射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣，θ=φ+与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．
（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求α的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；
（2）求|OA|?|OC|+|OB|?|OD|的值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．
【分析】（1）利用即可把曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，由于曲线C1关于曲线C2对称，可得圆心在C2上，即可解出．
（2）由已知可得|OA|=2sin（φ+），|OB|=2sin（φ+），|OC|=2sinφ，|OD|=2sin（φ+），化简整理即可得出．
【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开为（ρsinθ+ρcosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y，化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，
∵曲线C1关于曲线C2对称，∴圆心（1，1）在C2上，∴，化为tanα=﹣1，解得α=．
∴C2：为y﹣3=﹣1（x+1），化为x+y﹣2=0．
（2）|OA|=2sin（φ+），|OB|=2sin（φ+），|OC|=2sinφ，|OD|=2sin（φ+），
∴|OA|?|OC|+|OB|?|OD|=8sinφsin（φ+）+8cosφsin（φ+）=8sinφsin（φ+）+8cosφcos（φ+）=8cos=4．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、三角函数化简求值、直线的参数方程应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22. (09 年石景山区统一测试)（13分）
已知等差数列中，，前项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，记数列的前项和为，若不等式
对所有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，
∵ ,，
∴ ，即 .
∴ . ………………3分
所以数列的通项公式. ………………5分
（Ⅱ）∵ ，,
∴ . ………………7分
∵ 当≥时，,
∴ 数列是等比数列，首项，公比． ………………9分
∴ ． ………………11分
∵ ，
又不等式恒成立，
而单调递增，且当时，，
∴ ≥. ………………13分
