湖北省孝感市应城杨岭高级中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

湖北省孝感市应城杨岭高级中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果logx＜logy＜0，那么（　　） A．0＜y＜x＜1 B．1＜y＜x C．1＜x＜y D．0＜x＜y＜1 参考答案： C 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】利用换底公式化简，结合对数函数的图象及性质，即可得到答案． 【解答】解：∵真数在，对数值小于0， 由对数函数的图象及性质，可知：底数必须大于1，即x＞1，y＞1． 换成以底的对数： 可得：logx=；      logy=． ∵logx＜logy， ∴log＞， 由于底数为＜1，是减函数，∴y＞x， 所以：1＜x＜y 故选：C． 2. 若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理出错在：（  ）  A、大前提      B、小前提      C、推理过程        D、没有出错        参考答案： A 3. 下面是按一定规律排列的一列数 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； …… 第个数：． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是(  ) A．第13个数       B．第12个数      C．第11个数     D．第10个数 参考答案： D 略 4. 定义在R上的函数，满足，，若， 且，则有（   ）  A. B. C. D.不确定 参考答案： B 5. 设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是 (　　) A. P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B. P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C. 对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D. 对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) 参考答案： D 【分析】 由题，直接利用正态分布曲线的特征，以及概率分析每个选项，判断出结果即可. 【详解】A项，由正态分布密度曲线可知，x＝μ2为Y曲线的对称轴，μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＝＜P(Y≥μ1)，故A错；B项，由正态分布密度曲线可知，0＜σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错； C项，对任意正数t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，即有P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错； D项，对任意正数t，P(X＞t)＜P(Y＞t)，因此有P(X≤t)≥P(Y≤t)．故D项正确． 故选D 【点睛】本题考查正态分布及其密度曲线，熟悉正态分布曲线是解题关键，属于较为基础题. 6. 双曲线的渐近线方程是（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 依据双曲线性质，即可求出。 【详解】由双曲线得， ，即 ， 所以双曲线的渐近线方程是，故选D。 【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地 双曲线的渐近线方程是； 双曲线的渐近线方程是。 7. 两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，则下列说法中错误的是(　　) A．a与b为平行向量 B．a与b为模相等的向量 C．a与b为共线向量 D．a与b为相等的向量 参考答案： D 8. 若的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是(    ) A. 792 B. -792 C. 330 D. -330 参考答案： C 【分析】 由题可得，写出二项展开式的通项，求得，进而求得答案。 【详解】因为的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，所以 通项为， 令得 所以展开式中含项的系数是 故选C. 【点睛】本题考查二项展开式的系数，解题的关键是求出，属于简单题。 9. 在等差数列{an}中an＞0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a 5·a 6 的最大值等于 （     ） A. 3　　　  　　 B. 6　　            C.9　              D. 36 参考答案： C 10. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4.那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（   ） A. 5局3胜制 B. 7局4胜制 C. 都一样 D. 说不清楚 参考答案： A 【分析】 分别计算出乙在5局3胜制和7局4胜制情形下对应的概率，然后进行比较即可得出答案. 【详解】当采用5局3胜制时，乙可以3:0，3:1，3:2战胜甲，故乙获胜的概率为：;当采用7局4胜制时，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3战胜甲，故乙获胜的概率为：，显然采用5局3胜制对乙更有利，故选A. 【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度中等. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. A是整数集的一个非空子集，对若则称k是A的一个“孤立元”，给定S=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有        个. 参考答案： 6个 略 12. 若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公切线，则a的取值范围为　　． 参考答案： [，+∞） 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用． 【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围． 【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax， 由y=ex，得y′=ex， 曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公共切线， 设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2）， 则2ax1=ex2=， 可得2x2=x1+2， ∴a=， 记f（x）=， 则f′（x）=， 当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增． ∴当x=2时，f（x）min=． ∴a的范围是[，+∞）． 故答案为：[，+∞）． 【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有实数解的条件，是中档题． 13. 除以的余数是＿＿＿＿. 参考答案： 1 14. 甲、乙、丙、丁等人排成一列，甲和乙相邻，丙和丁不相邻的排法种数为           . 参考答案： 144 15. 等于          参考答案： 16. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是          . 参考答案： 3   略 17. 一束光线从点A（－1，1）出发，经轴反射到圆C：上的最短路径的长度是_　　　____。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围． 参考答案： 解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. 令f′(x)>0，得ex>a， 当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立； 当a>0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．…..6分 (2)由(1)知f′(x)＝ex－a. ∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立， 即a≤ex，x∈R恒成立． ∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0. 即a的取值范围为(－∞，0]．…………………12分   略 19. （本题满分10分）设的内角A、B、C所对的边长分别为，且，。 （1）当时，求的值. （2）当的面积为3时，求的值. 参考答案： 略 20. 已知圆M的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）． （Ⅰ）求圆M的方程； （Ⅱ）求过点C（1，2）的圆M的切线方程； （Ⅲ）已知D（﹣3，4），点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程． 参考答案： 【考点】圆的切线方程；轨迹方程． 【分析】（I）根据圆的性质，可得圆心M为AB垂直平分线与直线x﹣2y+4=0的交点．因此联解两直线的方程，得到圆心M的坐标，由两点的距离公式算出半径r=，即可得到圆M的方程； （II）由于点C是圆M上的点，所以过点C的圆M的切线与CM垂直．因此利用直线的斜率公式算出CM的斜率，从而得到切线的斜率k=﹣3，根据直线方程的点斜式列式，化简即得所求切线的方程； （III）设Q（x，y）、P（x0，y0），根据平行四边形ADQP的对角线互相平分，利用线段的中点坐标公式列式，解出P的坐标为（x﹣2，y﹣4），代入圆M的方程化简可得x2+（y﹣5）2=10．最后根据构成平行四边形的条件，去除两个杂点（﹣1，8）、（﹣3，4），即可得到顶点Q的轨迹方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵圆M与x轴交于两点A（﹣5，0）、B（1，0）， ∴圆心在AB的垂直平分线上，即C在直线x=﹣2上． 由，解得，即圆心M的坐标为（﹣2，1）． ∴半径， 因此，圆M的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=10． （Ⅱ）∵点C（1，2）满足（1+2）2+（2﹣1）2=10， ∴点C在圆M上，可得经过点C与圆M相切的直线与CM垂直． ∵CM的斜率kCM=，∴过点C的切线斜率为k==﹣3， 由此可得过点C（1，2）的圆M的切线方程为y﹣2=﹣3（x﹣1），化简得3x+y﹣5=0． （Ⅲ）设Q（x，y）、P（x0，y0）， ∵四边形ADQP为平行四边形，∴对角线AQ、PD互相平分，即AQ的中点也是PD的中点． 即，解得 将P（x﹣2，y﹣4）代入圆M的方程，可得（x﹣2+2）2+（y﹣4﹣1）2=10，即x2+（y﹣5）2=10， ∴顶点Q在圆x2+（y﹣5）2=10上运动， ∵圆x2+（y﹣5）2=10交直线AD于点（﹣1，8）和（﹣3，4）， 当Q与这两个点重合时，不能构成平行四边形ADQP， ∴顶点Q的轨迹方程为x2+（y﹣5）2=10，（点（﹣1，8）、（﹣3，4）除外）． 21. 已知F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）左、右焦点，点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6； （1）求椭圆的标准方程； （2）E、F是曲线C上异于点P的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程； （2）设直线PE方程代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0，求出E，F的坐标，由此能证明直线EF的斜率为定值． 【解答】解：（1）由题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，… C△=|PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=8… ∴… ∴椭圆方程为… （2）由（1）知，设直线PE方程：得y=k（x﹣1）+，代入， 得（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0… 设E（xE，yE），F（xF，yF）． ∵点P（1，）在椭圆上， ∴xE=，yE=kxE+﹣k，… 又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以﹣k代k， 可得xF=，yF=﹣kxF++k，… ∴