资源描述
湖北省孝感市应城杨岭高级中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如果logx<logy<0,那么( )
A.0<y<x<1 B.1<y<x C.1<x<y D.0<x<y<1
参考答案:
C
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】利用换底公式化简,结合对数函数的图象及性质,即可得到答案.
【解答】解:∵真数在,对数值小于0,
由对数函数的图象及性质,可知:底数必须大于1,即x>1,y>1.
换成以底的对数:
可得:logx=; logy=.
∵logx<logy,
∴log>,
由于底数为<1,是减函数,∴y>x,
所以:1<x<y
故选:C.
2. 若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:,结论是:,那么这个演绎推理出错在:( )
A、大前提 B、小前提 C、推理过程 D、没有出错
参考答案:
A
3. 下面是按一定规律排列的一列数
第1个数:;
第2个数:;
第3个数:;
……
第个数:.
那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是( )
A.第13个数 B.第12个数 C.第11个数 D.第10个数
参考答案:
D
略
4. 定义在R上的函数,满足,,若,
且,则有( )
A. B.
C. D.不确定
参考答案:
B
5. 设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是 ( )
A. P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B. P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C. 对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
D. 对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
参考答案:
D
【分析】
由题,直接利用正态分布曲线的特征,以及概率分析每个选项,判断出结果即可.
【详解】A项,由正态分布密度曲线可知,x=μ2为Y曲线的对称轴,μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)=<P(Y≥μ1),故A错;B项,由正态分布密度曲线可知,0<σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;
C项,对任意正数t,P(X>t)<P(Y>t),即有P(X≥t)<P(Y≥t),故C错;
D项,对任意正数t,P(X>t)<P(Y>t),因此有P(X≤t)≥P(Y≤t).故D项正确.
故选D
【点睛】本题考查正态分布及其密度曲线,熟悉正态分布曲线是解题关键,属于较为基础题.
6. 双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
依据双曲线性质,即可求出。
【详解】由双曲线得, ,即 ,
所以双曲线的渐近线方程是,故选D。
【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程,一般地
双曲线的渐近线方程是;
双曲线的渐近线方程是。
7. 两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为a和b,则下列说法中错误的是( )
A.a与b为平行向量
B.a与b为模相等的向量
C.a与b为共线向量
D.a与b为相等的向量
参考答案:
D
8. 若的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数是( )
A. 792 B. -792 C. 330 D. -330
参考答案:
C
【分析】
由题可得,写出二项展开式的通项,求得,进而求得答案。
【详解】因为的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大,所以
通项为,
令得
所以展开式中含项的系数是
故选C.
【点睛】本题考查二项展开式的系数,解题的关键是求出,属于简单题。
9. 在等差数列{an}中an>0,且a1+a2+…+a10=30,则a 5·a 6 的最大值等于 ( )
A. 3 B. 6 C.9 D. 36
参考答案:
C
10. 甲、乙两人进行乒乓球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是0.6,乙胜的概率是0.4.那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利?( )
A. 5局3胜制 B. 7局4胜制 C. 都一样 D. 说不清楚
参考答案:
A
【分析】
分别计算出乙在5局3胜制和7局4胜制情形下对应的概率,然后进行比较即可得出答案.
【详解】当采用5局3胜制时,乙可以3:0,3:1,3:2战胜甲,故乙获胜的概率为:;当采用7局4胜制时,乙可以4:0,4:1,4:2,4:3战胜甲,故乙获胜的概率为:,显然采用5局3胜制对乙更有利,故选A.
【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率,意在考查学生的计算能力和分析能力,难度中等.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. A是整数集的一个非空子集,对若则称k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 个.
参考答案:
6个
略
12. 若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公切线,则a的取值范围为 .
参考答案:
[,+∞)
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】方程思想;分析法;导数的概念及应用.
【分析】求出两个函数的导函数,设出两切点,由斜率相等列方程,再由方程有根转化为两函数图象有交点,求得a的范围.
【解答】解:由y=ax2(a>0),得y′=2ax,
由y=ex,得y′=ex,
曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,
设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点(x2,ex2),
则2ax1=ex2=,
可得2x2=x1+2,
∴a=,
记f(x)=,
则f′(x)=,
当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增.
∴当x=2时,f(x)min=.
∴a的范围是[,+∞).
故答案为:[,+∞).
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了方程有实数解的条件,是中档题.
13. 除以的余数是____.
参考答案:
1
14. 甲、乙、丙、丁等人排成一列,甲和乙相邻,丙和丁不相邻的排法种数为 .
参考答案:
144
15. 等于
参考答案:
16. 已知变量满足约束条件,则目标函数的最大值是 .
参考答案:
3
略
17. 一束光线从点A(-1,1)出发,经轴反射到圆C:上的最短路径的长度是_ ____。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围.
参考答案:
解:(1)∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.
令f′(x)>0,得ex>a,
当a≤0时,有f′(x)>0在R上恒成立;
当a>0时,有x≥ln a.
综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的单调增区间为[ln a,+∞).…..6分
(2)由(1)知f′(x)=ex-a.
∵f(x)在R上单调递增,∴f′(x)=ex-a≥0恒成立,
即a≤ex,x∈R恒成立.
∵x∈R时,ex∈(0,+∞),∴a≤0.
即a的取值范围为(-∞,0].…………………12分
略
19. (本题满分10分)设的内角A、B、C所对的边长分别为,且,。
(1)当时,求的值.
(2)当的面积为3时,求的值.
参考答案:
略
20. 已知圆M的圆心在直线x﹣2y+4=0上,且与x轴交于两点A(﹣5,0),B(1,0).
(Ⅰ)求圆M的方程;
(Ⅱ)求过点C(1,2)的圆M的切线方程;
(Ⅲ)已知D(﹣3,4),点P在圆M上运动,求以AD,AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程.
参考答案:
【考点】圆的切线方程;轨迹方程.
【分析】(I)根据圆的性质,可得圆心M为AB垂直平分线与直线x﹣2y+4=0的交点.因此联解两直线的方程,得到圆心M的坐标,由两点的距离公式算出半径r=,即可得到圆M的方程;
(II)由于点C是圆M上的点,所以过点C的圆M的切线与CM垂直.因此利用直线的斜率公式算出CM的斜率,从而得到切线的斜率k=﹣3,根据直线方程的点斜式列式,化简即得所求切线的方程;
(III)设Q(x,y)、P(x0,y0),根据平行四边形ADQP的对角线互相平分,利用线段的中点坐标公式列式,解出P的坐标为(x﹣2,y﹣4),代入圆M的方程化简可得x2+(y﹣5)2=10.最后根据构成平行四边形的条件,去除两个杂点(﹣1,8)、(﹣3,4),即可得到顶点Q的轨迹方程.
【解答】解:(Ⅰ)∵圆M与x轴交于两点A(﹣5,0)、B(1,0),
∴圆心在AB的垂直平分线上,即C在直线x=﹣2上.
由,解得,即圆心M的坐标为(﹣2,1).
∴半径,
因此,圆M的方程为(x+2)2+(y﹣1)2=10.
(Ⅱ)∵点C(1,2)满足(1+2)2+(2﹣1)2=10,
∴点C在圆M上,可得经过点C与圆M相切的直线与CM垂直.
∵CM的斜率kCM=,∴过点C的切线斜率为k==﹣3,
由此可得过点C(1,2)的圆M的切线方程为y﹣2=﹣3(x﹣1),化简得3x+y﹣5=0.
(Ⅲ)设Q(x,y)、P(x0,y0),
∵四边形ADQP为平行四边形,∴对角线AQ、PD互相平分,即AQ的中点也是PD的中点.
即,解得
将P(x﹣2,y﹣4)代入圆M的方程,可得(x﹣2+2)2+(y﹣4﹣1)2=10,即x2+(y﹣5)2=10,
∴顶点Q在圆x2+(y﹣5)2=10上运动,
∵圆x2+(y﹣5)2=10交直线AD于点(﹣1,8)和(﹣3,4),
当Q与这两个点重合时,不能构成平行四边形ADQP,
∴顶点Q的轨迹方程为x2+(y﹣5)2=10,(点(﹣1,8)、(﹣3,4)除外).
21. 已知F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)左、右焦点,点P(1,y0)在椭圆上,且PF2⊥x轴,△PF1F2的周长为6;
(1)求椭圆的标准方程;
(2)E、F是曲线C上异于点P的两个动点,如果直线PE与直线PF的倾斜角互补,证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)利用点P(1,y0)在椭圆上,且PF2⊥x轴,△PF1F2的周长为6,求出a,b,c,即可求椭圆的标准方程;
(2)设直线PE方程代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+4k(3﹣2k)x+4(﹣k)2﹣12=0,求出E,F的坐标,由此能证明直线EF的斜率为定值.
【解答】解:(1)由题意,F1(﹣1,0),F2(1,0),c=1,…
C△=|PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=8…
∴…
∴椭圆方程为…
(2)由(1)知,设直线PE方程:得y=k(x﹣1)+,代入,
得(3+4k2)x2+4k(3﹣2k)x+4(﹣k)2﹣12=0…
设E(xE,yE),F(xF,yF).
∵点P(1,)在椭圆上,
∴xE=,yE=kxE+﹣k,…
又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数,在上式中以﹣k代k,
可得xF=,yF=﹣kxF++k,…
∴
展开阅读全文
温馨提示:
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
相关搜索