浙江省金华市兰溪柏社中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

浙江省金华市兰溪柏社中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 六张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为（   ） A．180      B．126       C．93           D．60 参考答案： B 2. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则=（　　） A． B． C．4 D．5 参考答案： D 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】首先利用等差数列的通项公式求出首相和公差的关系，进一步对等差数列的前n项和公式进行应用． 【解答】解：等差数列{an}中，设首相为a1，公差为d， 由于：， 则：， 解得：， =， 故选：D 3. 目标函数，变量满足，则有　（     ）     A．                B．无最大值   C．无最小值              D．既无最大值，也无最小值 参考答案： B 4. 已知两圆和都过点，则经过两点的直线方程为 A、    B、       C、        D、  参考答案： 答案:D 解析：∵圆过点 ∴，同理 ∴经过两点的直线方程为    故选D   5. 设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面αβ，截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α-l-β的平面角为，则球O的表面积为（    ） A    B     C      D 参考答案： D 6. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（    ）                                                     A．            B．     C．               D． 参考答案： B 略 7. 从1，2,3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”,事件B为“取到的两个数均为偶数",则= A.   B.   C.   D. 参考答案： D 8. （5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（） A． 2x+y﹣1=0 B． 2x+y﹣5=0 C． x+2y﹣5=0 D． x﹣2y+7=0 参考答案： A 考点： 直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系． 专题： 计算题． 分析： 根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程． 解答： 解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2， 又知其过点（﹣1，3）， 由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0． 点评： 本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况． 9. 点A、B、C、D均在同一球面上，其中是正三角形，， ,则该球的体积为（    ） A．    B．    C．    D． 参考答案： A 10. 如右图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（） A. 70°              B. 35°              C. 20°   D. 10°                                                       参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式的解集是            . 参考答案：         略 12. 设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集是        ． 参考答案： （﹣2018，﹣2015） 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【专题】函数思想；导数的概念及应用． 【分析】根据题意，构造函数g（x）=x3f（x），x∈（﹣∞，0），利用导数判断g（x）的单调性， 再把不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0化为g（x+2015）＞g（﹣3）， 利用单调性求出不等式的解集． 【解答】解：根据题意，令g（x）=x3f（x）， 其导函数为g′（x）=3x2f（x）+x3f′（x）=x2[3f（x）+xf′（x）]， ∵x∈（﹣∞，0）时，3f（x）+xf′（x）＞0， ∴g（x）＞0， ∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增； 又不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0可化为 （x+2015）3f（x+2015）＞（﹣3）3f（﹣3）， 即g（x+2015）＞g（﹣3）， ∴0＞x+2015＞﹣3； 解得﹣2015＞x＞﹣2018， ∴该不等式的解集是为（﹣2018，﹣2015）． 故答案为：（﹣2018，﹣2015）． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题，是综合性题目． 13. 已知，则sinα=           ． 参考答案： 【考点】同角三角函数间的基本关系． 【专题】计算题． 【分析】由，求出，得到，再由sinα=tanα?cosα能求出结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴sinα=tanα?cosα = =﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换． 14. 函数的定义域为               ． 参考答案： 15. 下列说法正确的有             (只填序号) ① 函数的图象与直线的交点个数为0或1; ② 设函数, 若当时，总有， 则； ③ 时，函数的值域为； ④ 与函数的图象关于点对称的图象对应的函数为. 参考答案： (1)(2)(4) 16. 已知Sn为数列{an}的前n项和，，若，则     .  参考答案：   17. 抛物线的焦点坐标为                ．　 参考答案： 答案：  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，． （1）若在定义域上是增函数，求a的取值范围； （2）若存在，使得，求b的值，并说明理由． 参考答案： 解：（1）因为在定义域上为增函数． 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 令，，则， 所以在上为减函数，故，所以． 故的取值范围为． （2）因为， 取，得，又，所以． 所以存在整数，当时，． 令，则， 令，得． ，的变化情况如下表： 所以时，取到最小值，且最小值为． 即． 令，则， 令，由，得， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，即． 因此，从而在上单调递增， 所以，即． 综上，．   19. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 可以证明, 对任意的, 有成立. 下面尝试推广该命题: （1）       设由三项组成的数列每项均非零, 且对任意的有 成立, 求所有满足条件的数列; （2）设数列每项均非零, 且对任意的有 成立, 数列的前项和为. 求证: , ; （3）是否存在满足(2)中条件的无穷数列, 使得? 若存在, 写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由. 参考答案： 解：（1） 取, 有, 又, 所以.                                                (2分) 取, 有, 于是, 又, 所以或2.                                                                                                          (4分) 取, 有. 当时, , 又, 所以. 当时, , 整理得, , 所以或. 综上, 所有满足条件的数列为.                                          (6分) （2）由已知, , 用替换, 得到 . 两式相减, 有                             (9分)  . 因, 所以, .                                                         (12分) （3）存在. 是一个满足条件的无穷数列.                      (18分) 注: 满足(2)中条件的数列递推式为或, 所以符合的数列前2012项必须为, 之后的项只需满足递推式即可, 但要注意不能出现值为0的项.   略 20. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R． （Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9； （Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）由题意可得B?A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9， 故有①；或②；或③． 解①求得x＜﹣6；解②求得x∈?，解③求得 x＞3． 综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}． （Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A， B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B?A， ∴，即，求得﹣1≤a≤0， 故实数a的范围为[﹣1，0]． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题． 　 21. 在平面直角坐标系中，将曲线：上的所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线；在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程是． （Ⅰ）写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程； （Ⅱ）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值． 参考答案： （Ⅰ）由题意知，曲线方程为，参数方程为（为参数）．直线的直角坐标方程为． …………（6分） （Ⅱ）设，则点到直线的距离为 ， 多以当时，取最大值，此时取，点坐标是． …………（10分） 22. (本小题满分16分) 设数列{an}的首项不为零，前n项和为Sn，且对任意的r，tN*，都有． （1）求数列{an}的通项公式（用a1表示）； （2）设a1=1，b1=3，，求证：数列为等比数列； （3）在（2）的条件下，求． 参考答案： （1）因为，令，，则，得，即．… 2分 当时，，且当时，此式也成立． 故数列{an}的通项公式为．                             …………… 5分 （2）当时，由（1）知，Sn＝n2． 依题意，时，，                                      ……… 7分