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湖北省武汉市九峰中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线的右顶点为A,过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行,交另一条渐近线于点B,则S△ABF=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线的方程可得a、b的值,进而可得c的值,可以确定A、F的坐标,设BF的方程为y=(x﹣2),代入y=﹣x,解得B的坐标,由三角形的面积公式,计算可得答案.
【解答】解:由双曲线,
可得a2=1,b2=3,故c==2,
∴A(1,0),F(2,0),渐近线方程为y=±x,
不妨设BF的方程为y=(x﹣2),
代入方程y=﹣x,解得:B(1,﹣).
∴S△AFB=|AF|?|yB|=?1?=.
故选:B.
【点评】本题考查双曲线方程的运用,注意运用渐近线方程,关键求出B的坐标;解此类面积的题目时,注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合,以简化计算.
2. 已知,,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
3. 已知双曲线:(a>0,b>0)的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,Q为双曲线C渐近线上一点,,均位于第一象限,且,,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 执行如下图所示的程序框图,则输出的结果是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
5. 已知双曲线,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 已知函数f(x)=(b∈R).若存在x∈[,2],使得f(x)+xf′(x)>0,则实数 b的取值范围是( )
A.(﹣∞,) B.(﹣∞,) C.(﹣∞,3) D.(﹣∞,)
参考答案:
B
【考点】63:导数的运算.
【分析】求导函数,确定函数的单调性,进而可得函数的最大值,故可求实数a的取值范围.
【解答】解:∵f(x)=f(x)=,x>0,
∴f′(x)=,
∴f(x)+xf′(x)=+=,
∵存在x∈[,2],使得f(x)+xf′(x)>0,
∴1+2x(x﹣b)>0
∴b<x+,
设g(x)=x+,
∴b<g(x)max,
∴g′(x)=1﹣=,
当g′(x)=0时,解的x=,
当g′(x)>0时,即<x≤2时,函数单调递增,
当g′(x)<0时,即≤x<2时,函数单调递减,
∴当x=2时,函数g(x)取最大值,最大值为g(2)=2+=
∴b<,
故选:B.
7. 已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且时,.函数,则函数在内的零点的个数为 ( )
A.10 B.14 C.15 D.16
参考答案:
D
9. 若,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 已知抛物线有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线的顶点为,,过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点,则的面积是
参考答案:
12.
在北纬45°的纬线圈上有A、B两地,A地在东经110°处,B地在西经160°处,设地球半径为R,则A、B两地的球面距离是 。
参考答案:
答案:
13. 如图函数F(x)=f(x)+x2的图象在点P处的切线方程
是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.
参考答案:
-5
14. 设,则函数的最小值为 .
参考答案:
答案:
解析:本小题主要考查三角函数的最值问题。
取的左半圆,作图(略)易知
15. 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向,且与A相距10海里的C处,沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时.
参考答案:
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形.
【分析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时,由已知得△ABC中,AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°,由此利用余弦定理能求出结果.
【解答】解:设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时,
如图,则由已知得△ABC中,AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°,
由余弦定理得:(21x)2=100+(9x)2﹣2×10×9x×cos120°,
整理,得36x2﹣9x﹣10=0,
解得x=或x=﹣(舍).
∴海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.
故答案为:.
【点评】本题考查解三角形在生产生活中的实际运用,是中档题,解题时要认真审题,作出图形,利用余弦定理求解.
16. 记实数中的最大数为,最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长,若,则的取值范围是 .
参考答案:
显然,又,
①当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而
②当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而
综上所述,的取值范围是。
17. 展开式中的系数为_________.
参考答案:
48
【分析】
变换,根据二项式定理计算得到答案.
【详解】的展开式的通项为:,,
取和,计算得到系数为:.
故答案为:48.
【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.
(Ⅰ)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出详细证明;
(Ⅱ)求三棱锥E-ABC的体积.
参考答案:
(Ⅰ)如图所示,取中点,取中点,连结,则即为所求.
证明:取中点,连结,
∵为腰长为的等腰三角形,为中点,
∴,
又平面平面,
平面平面,平面,
∴平面,
同理可证平面,
∴,
∵平面,平面,
∴平面.
又,分别为,中点,
∴,
∵平面,平面,
∴平面.
又,平面,平面,
∴平面平面,
又平面,∴平面.
(Ⅱ)连结,取中点,连结,则,
由(Ⅰ)可知平面,
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.
又是边长为的等边三角形,∴,
又平面平面,平面平面,平面,
∴平面,∴平面,
∴,又为中点,∴,
又,,∴.
∴.
19. (本题满分12分)某市地铁全线共有四个车站,甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车,假设每人自第2号站开始,在每个车站下车是等可能的,约定用有序实数对表示“甲在号车站下车,乙在号车站下车”
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来;
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率;
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率.
参考答案:
解:(1)甲、乙两人下车的所有可能的结果有:(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、
(3,3)、(3,4)、(4,2)、(4,3)、(4,4)共9种 ………………… 4分
(2)设甲、乙两人同时在第3节车站下车为事件A,则………… 8分
(3)甲、乙两人在同一地铁站下车的基本事件有
(2,2)、(3,3)、(4,4)共3种,所求概率为……………… 12分
20. (2016?晋城二模)如图所示的几何体中,ABCD为菱形,ACEF为平行四边形,△BDF为等边三角形,O为AC与BD的交点.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACEF;
(Ⅱ)若∠DAB=60°,AF=FC,求二面角B﹣EC﹣D的正弦值.
参考答案:
【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)由已知得BD⊥AC,BD⊥OF,由此能证明BD⊥平面ACEF.
(Ⅱ)由已知得AC⊥OF,OF⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系O﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的正弦值.
【解答】证明:(Ⅰ)∵ABCD为菱形,∴BD⊥AC
∵O为AC与BD的交点,∴O为BD的中点,
又△BDF为等边三角形,∴BD⊥OF,
∵AC?平面ACEF,OF?平面ACEF,AC∩OF=O,
∴BD⊥平面ACEF.
(Ⅱ)∵AF=FC,O为AC中点,∴AC⊥OF,
∵BD⊥OF,∴OF⊥平面ABCD,
建立空间直角坐标系O﹣xyz,不妨设AB=2,
∵∠DAB=60°,∴B(0,1,0),C(﹣,0,0),
D(0,﹣1,0),A(,0,0),F(0,0,),
∵=,∴E(﹣2,0,),
=(﹣,﹣1,0),=(﹣2,﹣1,),
设=(x,y,z)为平面BEC的法向量,
则,
取x=1,得=(1,﹣,1),
则理求得平面ECD的法向量=(1,,1),
设二面角B﹣EC﹣D的平面角为θ,
则cosθ==,
∴sinθ==,
∴二面角B﹣EC﹣D的正弦值为.
【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
21. 某厂家拟在2013年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足(为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是1万件. 已知2013年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2013年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数;
(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
参考答案:
略
22. (本小题满分14分)
已知函数
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)讨论的单调性;
(3)证明:为自然对数的底数)
参考答案:
(1)是的一个极值点,则
,验证知=0符合条件…………………(2分)
(2)
1)若=0时,
单调递增,在单调递减;
2)若
上单调递减…………………………………(5分)
3)若
再令
在……(8分)
综上所述,若上单调递减,
若
。
……(9分)
(3)由(2)知,当
当
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