湖北省武汉市九峰中学高三数学理测试题含解析

湖北省武汉市九峰中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣2），代入y=﹣x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案． 【解答】解：由双曲线， 可得a2=1，b2=3，故c==2， ∴A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y=±x， 不妨设BF的方程为y=（x﹣2）， 代入方程y=﹣x，解得：B（1，﹣）． ∴S△AFB=|AF|?|yB|=?1?=． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算． 2. 已知，，则（   ）    （A）         （B）      （C）        （D） 参考答案： B 略 3. 已知双曲线：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（      ） A． B． C． D． 参考答案： D 4. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是 （A）         （B）           （C）          （D） 参考答案： C 5. 已知双曲线，则双曲线的离心率为    A.    B.      C.     D. 参考答案： B 略 6. 已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数 b的取值范围是（　　） A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，） 参考答案： B 【考点】63：导数的运算． 【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围． 【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0， ∴f′（x）=， ∴f（x）+xf′（x）=+=， ∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0， ∴1+2x（x﹣b）＞0 ∴b＜x+， 设g（x）=x+， ∴b＜g（x）max， ∴g′（x）=1﹣=， 当g′（x）=0时，解的x=， 当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增， 当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减， ∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+= ∴b＜， 故选：B． 7. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为(    ) A．        B．        C．       D． 参考答案： B 略 8. 若函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x＋2）＝f（x），且时，.函数，则函数在内的零点的个数为         （   ）   A．10                 B．14                 C．15              D．16             参考答案： D 9. 若，则的大小关系是（   ）   A.  B.  C.  D. 参考答案： B 略 10. 已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为（    ） A.     B.     C.     D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线的顶点为，，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则的面积是              参考答案： 12. 在北纬45°的纬线圈上有A、B两地，A地在东经110°处，B地在西经160°处，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离是        。 参考答案：   答案：    13. 如图函数F(x)＝f(x)＋x2的图象在点P处的切线方程 是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.   参考答案： －5 14. 设，则函数的最小值为         . 参考答案：  答案： 解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。       取的左半圆,作图(略)易知       15. 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为　　小时． 参考答案： 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形． 【分析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，由已知得△ABC中，AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由此利用余弦定理能求出结果． 【解答】解：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时， 如图，则由已知得△ABC中，AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°， 由余弦定理得：（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°， 整理，得36x2﹣9x﹣10=0， 解得x=或x=﹣（舍）． ∴海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时． 故答案为：． 【点评】本题考查解三角形在生产生活中的实际运用，是中档题，解题时要认真审题，作出图形，利用余弦定理求解． 16. 记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是           ． 参考答案： 显然，又， ①当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而 ②当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而 综上所述，的取值范围是。 17. 展开式中的系数为_________. 参考答案： 48 【分析】 变换，根据二项式定理计算得到答案. 【详解】的展开式的通项为：，， 取和，计算得到系数为：. 故答案为：48. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD. （Ⅰ）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明； （Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积. 参考答案： （Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求. 证明：取中点，连结， ∵为腰长为的等腰三角形，为中点， ∴， 又平面平面， 平面平面，平面， ∴平面， 同理可证平面， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 又，分别为，中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面， 又平面，∴平面. （Ⅱ）连结，取中点，连结，则， 由（Ⅰ）可知平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等. 又是边长为的等边三角形，∴， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，∴平面， ∴，又为中点，∴， 又，，∴. ∴. 19. (本题满分12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号站开始，在每个车站下车是等可能的，约定用有序实数对表示“甲在号车站下车，乙在号车站下车” （1）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来； （2）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率； （3）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率． 参考答案： 解：（1）甲、乙两人下车的所有可能的结果有：（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、 （3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）共9种   …………………  4分 （2）设甲、乙两人同时在第3节车站下车为事件A，则…………  8分 （3）甲、乙两人在同一地铁站下车的基本事件有 （2，2）、（3，3）、（4，4）共3种，所求概率为……………… 12分 20. （2016?晋城二模）如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD的交点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF； （Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）由已知得BD⊥AC，BD⊥OF，由此能证明BD⊥平面ACEF． （Ⅱ）由已知得AC⊥OF，OF⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的正弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC ∵O为AC与BD的交点，∴O为BD的中点， 又△BDF为等边三角形，∴BD⊥OF， ∵AC?平面ACEF，OF?平面ACEF，AC∩OF=O， ∴BD⊥平面ACEF． （Ⅱ）∵AF=FC，O为AC中点，∴AC⊥OF， ∵BD⊥OF，∴OF⊥平面ABCD， 建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB=2， ∵∠DAB=60°，∴B（0，1，0），C（﹣，0，0）， D（0，﹣1，0），A（，0，0），F（0，0，）， ∵=，∴E（﹣2，0，）， =（﹣，﹣1，0），=（﹣2，﹣1，）， 设=（x，y，z）为平面BEC的法向量， 则， 取x=1，得=（1，﹣，1）， 则理求得平面ECD的法向量=（1，，1）， 设二面角B﹣EC﹣D的平面角为θ， 则cosθ==， ∴sinθ==， ∴二面角B﹣EC﹣D的正弦值为． 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 21. 某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）． （1）将2013年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 参考答案： 略 22. （本小题满分14分） 已知函数 (1)若在处取得极值，求的值； (2)讨论的单调性； (3)证明：为自然对数的底数） 参考答案： （1）是的一个极值点，则         ，验证知=0符合条件…………………（2分）    （2）        1）若=0时，          单调递增，在单调递减；        2）若            上单调递减…………………………………（5分）        3）若                    再令                在……（8分）        综上所述，若上单调递减， 若         。 ……（9分） (3)由（2）知，当 当