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湖北省孝感市书院中学2022年高二数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合,若,则实数a的取值范围是( )
A.(3,+∞) B. [3,+∞) C.(-∞,1] D. (-∞,1)
参考答案:
C
【分析】
由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A,B,根据B?A,可得参数a的取值范围.
【详解】集合A={x|x>3或x<1},
集合B={x|x<a},
由B?A,可得a≤1,
∴实数的取值范围是,
故选:C.
【点睛】本题考查集合间的关系以及一元二次不等式的解法,属于基础题.
2. 设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A. 若 B. 若
C.若 D. 若
参考答案:
D
3. 已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
D
略
4. 设 ,则 的值是( )
A. B. -6 C. D. -3
参考答案:
A
【分析】
根据分段函数的对应法则即可得到结果.
【详解】∵
∴
故选:A
【点睛】本题考查分段函数的对应法则,考查指数与对数的运算法则,属于中档题.
5. 编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示五个盒子中。
要求每个盒子只能放一个小球,且A不能放1,2号,B必须放在与A相邻的盒子中。则不同的放法有( )种
A. 42 B. 36 C. 32 D. 30
参考答案:
D
6. 在极坐标系中,设曲线C1:ρ=2sinθ与C2:ρ=2cosθ的交点分别为A,B,则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为( )
A.ρ= B.ρ= C.θ=(ρ∈R) D.θ=(ρ∈R)
参考答案:
A
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】分别求出曲线C1和C2的直角坐标方程,联立方程组求出A、B的坐标,先求出线段AB的垂直平分线的普通方程,由此能求出线段AB的垂直平分线极坐标方程.
【解答】解:∵曲线C1:ρ=2sinθ,∴ρ2=2ρsinθ,
∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=2y,
∵C2:ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,
∴C2的直角坐标方程为x2+y2=2x,
联立,得,或,
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1,AB的中点为(,),
∴线段AB的垂直平分线的方程为:y﹣=﹣(x﹣),即x+y﹣1=0.
∴线段AB的垂直平分线极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,即.
故选:A.
7. 椭圆的一个焦点是,那么实数的值为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
8. 棱长为的正方体内切一球,该球的半径为
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
9. 已知﹣9,a1,a2,﹣1四个实数成等差数列,﹣9,b1,b2,b3,﹣1五个实数成等比数列,则b2(a2﹣a1)=( )
A.8 B.﹣8 C.±8 D.
参考答案:
B
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得,再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案.
【解答】解:由题得,
又因为b2是等比数列中的第三项,所以与第一项同号,即b2=﹣3
∴b2(a2﹣a1)=﹣8.
故选 B.
【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查.在做关于等差数列以及等比数列的题目时,其常用性质一定要熟练掌握.
10. 由曲线,直线所围成的平面图形的面积为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在区间[0,π]上的最小值为______________.
参考答案:
略
12. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点,且两曲线的一个交点为,若,则双曲线的方程为
参考答案:
略
13. 观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,…,根据上述规律,第四个等式为__________________.
参考答案:
略
14. 若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为( )
A.4和3 B.3和2 C. 4和2 D.2和0
参考答案:
C
略
15. 经过点P(1,2)的直线,且使A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等的直线方程为 .
参考答案:
4x-y-2=0或x=1;
16. 如图是y=f(x)的导函数的图象,现有四种说法:
(1)f(x)在(-3,1)上是增函数;
(2)x=-1是f(x)的极小值点;
(3)f(x)在(2,4)上是减函数,
在(-1,2)上是增函数;
(4)x=2是f(x)的极小值点;
以上正确的序号为________.
参考答案:
②
略
17. 已知函数,则曲线在点处的切线方程_________ .
参考答案:
3X+Y-4=0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,曲线Γ由曲线C1:和曲线C2:组成,其中点F1,F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点,点F3,F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点,
(1)若F2(2,0),F3(﹣6,0),求曲线Γ的方程;
(2)如图,作直线l平行于曲线C2的渐近线,交曲线C1于点A、B,求证:弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上;
(3)对于(1)中的曲线Γ,若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D,求△CDF1面积的最大值.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】(1)由F2(2,0),F3(﹣6,0),可得,解出即可;
(2)曲线C2的渐近线为,如图,设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),设直线l:y=,与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+(m2﹣a2)=0,
利用△>0,根与系数的关系、中点坐标公式,只要证明,即可.
(3)由(1)知,曲线C1:,点F4(6,0).设直线l1的方程为x=ny+6(n>0).与椭圆方程联立可得(5+4n2)y2+48ny+64=0,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出.
【解答】(1)解:∵F2(2,0),F3(﹣6,0),
∴,
解得,
则曲线Γ的方程为和.
(2)证明:曲线C2的渐近线为,
如图,设直线l:y=,
则,化为2x2﹣2mx+(m2﹣a2)=0,
△=4m2﹣8(m2﹣a2)>0,
解得.
又由数形结合知.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则x1+x2=m,x1x2=,
∴=,.
∴,即点M在直线y=﹣上.
(3)由(1)知,曲线C1:,点F4(6,0).
设直线l1的方程为x=ny+6(n>0).
,化为(5+4n2)y2+48ny+64=0,
△=(48n)2﹣4×64×(5+4n2)>0,化为n2>1.
设C(x3,y3),D(x4,y4),
∴,.
∴|y3﹣y4|==,
===,
令t=>0,∴n2=t2+1,
∴===,当且仅当t=,即n=时等号成立.
∴n=时, =.
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
19. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,若直线l的极坐标方程为psin(θ﹣)=2.
(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程;
(2)已知P为椭圆C:上一点,求P到直线l的距离的最小值.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程即可;
(2)设P(cosα,3sinα),利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d,利用余弦函数的值域确定出最小值即可.
【解答】解:(1)直线l的极坐标方程为ρsin(θ﹣)=2,
整理得:ρ(sinθcos﹣cosθsin)=ρsinθ﹣ρcosθ=2,
即ρsinθ﹣ρcosθ=4,
则直角坐标系中的方程为y﹣x=4,即x﹣y+4=0;
(2)设P(cosα,3sinα),
∴点P到直线l的距离d==≥=2﹣,
则P到直线l的距离的最小值为2﹣.
【点评】此题考查了简单曲线的极坐标方程,熟练掌握简单极坐标方程与普通方程的转化是解本题的关键.
20. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,圆的直径,是延长线上一点,,割线交圆于点,,过点作的垂线,交直线于点,交直线于点.
(I)求证:;
(II)求的值.
参考答案:
解法1:(I)连接,则,
即、、、四点共圆.
∴. …………………………3分
又、、、四点共圆,∴
∴. ………………………5分
∵,
∴、、、四点共圆, ………………7分
∴,又, ………9分
. ………………………………………10分
解法2:(I)连接,则,又
∴,
∵,∴. ………5分
(II)∵,,
∴∽,∴,
即, …………7分
又∵, …………………9分
∴. ………………………………………10分
21. 已知函数,b为实数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)当,且恒成立时,求b的最大值.
参考答案:
解:(1)当时,,∴,
所以函数在点处的切线方程为,
即为.
(2)恒成立,则恒成立,
又,令,所以,
所以在为单调递增函数.
又因为,,所以使得,
即,,,,所以.
又因为,所以,
所以,,
令,,,
所以,即,又,
所以,
因为,,所以的最大值为-1.
22. 如图,圆O的直径AB=10,弦DE⊥AB于点H, HB=2 .
(1)求DE的长;
(2)延长ED到P,过P作圆O的切线,切点为C,若PC=2,求PD的长.
参考答案:
(1)、DE=8;(2)、PD=2
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