浙江省金华市第十五中学高一数学理模拟试题含解析

浙江省金华市第十五中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在ABC中，若，且sinA=2sinBcosC, 则ΔABC的形状是（   ）     A．直角三角形                       B．等腰直角三角形        C．等腰三角形                       D．等边三角形 参考答案： D 略 2. 设函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜），且其图象关于直线x=0对称，则（　　） A．y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为增函数 B．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数 C．y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数 D．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数 参考答案： C 【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】通过两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项． 【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ） =2[sin（2x+φ）+cos（2x+φ）] =2sin（2x+φ+）， ∴ω=2， ∴T==π， 又函数图象关于直线x=0对称， ∴φ+=kπ+（k∈Z）， 即φ=kπ（k∈Z）， 又|φ|＜， ∴φ=， ∴f（x）=2cos2x， 令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z）， 解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z）， ∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z）， 又（0，）?[kπ，kπ+]（k∈Z）， ∴函数在（0，）上为减函数， 则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数． 故选：C． 【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点． 3. 已知非零向量满足，若，则实数t等于 A．4             B．－4            C．          D． 参考答案： B 4. （5分）若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，4），（0，2）内，那么下列命题中正确的是（） A． 函数f（x）在区间（0，1）内没有零点 B． 函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点 C． 函数f（x）在区间（1，16）内有零点 D． 函数f（x）在区间（2，16）内没有零点 参考答案： D 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 压轴题；阅读型． 分析： 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．其他不能确定． 解答： 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点． D正确， A不能确定， B中零点可能为1， C不能确定． 故选D 点评： 本题考查对函数零点的判定定理的理解，属基础知识的考查．属基础题． 5. （5分）函数y=|x+1|的单调增区间是（） A． （﹣∞，+∞） B． （﹣∞，0） C． （﹣1，+∞） D． （﹣∞，﹣1） 参考答案： C 考点： 函数的单调性及单调区间． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据绝对值函数的性质即可得到结论． 解答： 当x≥﹣1时，y=|x+1|=x+1，此时函数单调递增， 当x＜﹣1时，y=|x+1|=﹣x﹣1，此时函数单调递减， 故函数的递增区间为（﹣1，+∞）， 故选：C 点评： 本题主要考查函数单调区间的求解，根据绝对值函数的性质将函数表示为分段函数是解决本题的关键． 6. 已知g（x）=1-2x,f[g（x）]=,则f（）等于 （    ） A．1 B．3 C．15          D．30 参考答案： C 略 7. 若sinθ＞cosθ，且tanθ＜0，则角θ的终边位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】G3：象限角、轴线角． 【分析】因为sinθ＞cosθ，可判断θ一定不是第四象限，又tanθ＜0，可得判断θ是第二或第四象限角，问题得以解决． 【解答】解：∵sinθ＞cosθ， ∴θ一定不再第四象限， 又tanθ＜0， ∴θ是第二或第四象限角， 可得θ是第二象限角， 故选B． 【点评】本题考查象限角的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键，属于基础题． 8. （5分）若角α的终边落在直线y=3x上，则cosα的值为（） A． ± B． ± C． ± D． ± 参考答案： B 考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 角的终边是射线，分两种情况讨论角的终边所在的象限，对于各种情况在终边上任取一点，利用三角函数的定义求出cosα的值． 解答： ∵角α的终边落在直线y=3x上 当角α的终边在第一象限时， 在α终边上任意取一点（1，3），则该点到原点的距离为， ∴cosα==， 当角α的终边在第三象限时， 在α终边上任意取一点（﹣1，﹣3），则该点到原点的距离为， ∴cosα=﹣=﹣ 故选：B． 点评： 已知角的终边求三角函数的值，在终边上任意取一点利用三角函数的定义求出三角函数值，注意终边在一条直线上时要分两种情况． 9. 三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的体积为(    ) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 求得底面正三角形的外接圆半径，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的体积. 【详解】设底面正三角形的外接圆半径为，由正弦定理得， 即， 所以求的半径为， 所以球的体积为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算，属于基础题. 10. 已知函数f（x）=﹣log3x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 参考答案： C 【考点】二分法的定义． 【分析】判断函数的单调性，求出f（3），f（4）函数值的符号，利用零点判定定理判断即可． 【解答】解：函数f（x）=﹣log3x，是减函数，又f（3）=﹣log33=＞0， f（4）=1﹣log34＜0， 可得f（3）f（4）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）=﹣log3x，包含零点的区间是：（3，4）． 故选：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 计算：__________． 参考答案： 0 解：法一： ． 法二： ． 12. 已知函数,若实数满足，且，则的取值范围是   ． 参考答案： 由图像可知，且，于是，则，所以 ，所以的取值范围是． 13. 已知圆上有两点且满足 则直线的方程为____________________.   参考答案： 14. 若对数函数y=f（x）图象过点（4，2），则其解析式是　　． 参考答案： f（x）=log2x 考点： 求对数函数解析式． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用待定系数法求出对数函数的解析式． 解答： 解：设对数函数y=f（x）=logax，（a＞0且a≠1）， 因为对数函数的图象过点（4，2）， 所以f（4）=loga4=2，解得a=2， 所以对数函数的解析式为f（x）=log2x． 故答案为：f（x）=log2x． 点评： 本题的考点是利用待定系数法求对数函数的解析式，比较基础． 15. 已知直线??直线??有下列四个命题 (1)?(2);? (3)?(4) ?其中正确的命题是_______ 参考答案： （1）（3） 16. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是          参考答案： 略 17. （5分）若光线从点A（﹣3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线A到B的距离为           ． 参考答案： 5 考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 求出设关于x轴的对称点A'坐标，由两点间的距离公式，可得光线A到B的距离． 解答： 解：A关于x轴的对称点A′坐标是（﹣3，﹣5） 由两点间的距离公式，可得光线A到B的距离为=5． 故答案为：5． 点评： 本题考查点的对称，考查两点间的距离公式，比较基础． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）     定义在R上的函数，对任意的，     ，且。   （1）求证： ；     （2）求证：是偶函数。 参考答案： 19. （本题满分12分）已知函数  （1）当时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数的取值范围，使在区间上是单调减函数 参考答案： 20. （本小题12分）已知函数y＝cosx＋sinxcosx＋1，x∈R. 求（1）函数y的最大值；（2）函数y的周期；（3）函数y的单调增区间 参考答案： .π 21. （1）已知，求函数f（x）的解析式． （2）已知二次函数f（x）满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1对任意实数x都成立，求函数f（x）的解析式． 参考答案： 【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）利用换元法求解函数f（x）的解析式． （2）利用待定系数法求解函数f（x）的解析式． 【解答】解：（1）已知， 令 则x=， 那么有g（t）== ∴函数f（x）的解析式．f（x）= （2）由题意，f（x）是二次函数，设f（x）=ax2+bx+c，（a≠0） ∵f（0）=2， ∴C=2， 则f（x）=ax2+bx+2． 那么：f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣ax2﹣bx﹣c=2ax+a+b ∵2x﹣1=2ax+a+b， 即2a=2，a+b=﹣1， 解得：a=1，b=﹣2 ∴函数f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x+2． 22. 计算下列式子的值： （1）﹣（﹣1）0﹣；   （2）lg+lg70﹣lg3﹣． 参考答案： 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】（1）利用指数与根式的运算法则即可得出； （2）利用对数的运算法则即可得出． 【解答】解：（1）﹣（﹣1）0﹣=﹣1﹣=﹣1； （2）：lg +lg 70﹣lg 3﹣=﹣（1﹣lg3）=1﹣1+lg3=lg3． 【点评】本题考查了指数与根式的运算法则、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．