湖北省恩施市百福司民族中学高三数学文期末试卷含解析

湖北省恩施市百福司民族中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正方体的内切球和外接球的表面积之比为(     ) A．3：1 B．3：4 C．4：3 D．1：3 参考答案： D 考点：球的体积和表面积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：设出正方体的棱长，利用正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，分别求出半径，即可得到结论． 解答： 解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a． a=2r内切球，r内切球=，a=2r外接球，r外接球=， ∴r内切球：r外接球=1：． ∴正方体的内切球和外接球的表面积之比为1：3． 故选：D． 点评：本题是基础题，本题的关键是正方体的对角线就是外接球的直径，正方体的棱长是内切球的直径，考查计算能力． 2. 若全集R，集合，｛｝，则(   ) A．  B．  C．   D． 参考答案： B 略 3. 已知集合则等于（   ） A.          B.             C.               D. 参考答案： D 4. 设l，m，n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α； ②若m∥l，且m∥α，则l∥α； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n； ④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且nβ，则l∥m. 其中正确命题的个数是 A．2        B．1        C．3        D．4 参考答案： A 5. 执行右边的程序框图，若，则输出的（      ）.                   .          .    .        . 参考答案： B 略 6. 已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的（   ）   A．        B．    C．      D． 参考答案： C 试题分析：画出函数的图象如下图所示，由图可知，函数过，经验证可知C正确. 考点：三角函数. 7. 对于直角坐标平面内的任意两点、，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB‖=，给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A. 0               B. 1                 C. 2             D.3 参考答案： B 略 8. 某种运动繁殖量（只）与时间（年）的关系为，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 A.200只 B.300只 C.400只 D.500只 参考答案： A 9. 已知复数满足，则为 A．           B．           C．                  D．2 参考答案： C 略 10. 已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（　　） A．﹣3 B． C．5 D．6 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5． 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部， 其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5） 设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（2，﹣1）=5 故选：C 【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，若同时满足条件： ①，或；②, ，则的取值范围是           .       参考答案： 12. 已知向量，若函数在区间上存在增区间，则的取值范围是________________． 参考答案： 略 13. 如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为　　． 参考答案： 【考点】余弦定理． 【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案． 【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3， 由余弦定理得cos∠ADC==﹣， ∴∠ADC=120°，∠ADB=60° 在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°， 由正弦定理得， ∴AB= 故答案为：． 14. 函数f（x）=的最小正周期是　　． 参考答案：   【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】利用三角函数公式化简只有一个函数名，即可求解周期． 【解答】解：函数f（x）===tan2x． ∴最小正周期T=． 故答案为． 【点评】本题主要考查三角函数的化简能力及图象和性质，比较基础． 　 15. 若，恒成立，则实数a的取值范围为__________． 参考答案： 【分析】 直接根据基本不等式求解最值即可求得结论． 【详解】解：因为，，当且仅当，即时取等号，又，恒成立； ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题． 16. 设函数则使得成立的x的取值范围是          . 参考答案： . 解得，解得，故的解为. 也可通过考察分段函数的图象而得解. 17. 设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则=      ． 参考答案： (理) 4024 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠ACD＝90°,∠BAC＝∠CAD＝60°,PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2． （1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； （2）求四棱锥P－ABCD的体积V. 参考答案： （1）∵PA＝CA，F为PC的中点， ∴AF⊥PC．          ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． ∵E为PD中点，F为PC中点， ∴EF∥CD．则EF⊥P C．      ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF． （2）在Rt△ABC中，AB＝1， ∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2． 在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°， ∴CD＝2，AD＝4． ∴SABCD＝ ． 则V＝． 略 19. （本题满分13分）已知数列 （1）求数列的通项公式； （2）设的值。 参考答案： （Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由，得． 当n≥2时， ∵，， ∴，即． ∴． ∴{an}是以为首项，为公比的等比数列． 故． （7分） （Ⅱ）， bn=，（9分） （11分） 解方程，得n=100（14分） 20. （12分）已知函数. （I）求的最小正周期； （II）若求的值. 参考答案： 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】（1）（2） （1）函数=sin4x+- =sin(4x+)所以函数的最小正周期为：T== （2）由（1）得：f(α)=sin(4α+)=由于＜α＜,＜4α+＜ cos(4α+)=-所以cos4α=cos[（4α+）-]=cos（4α+）cos+sin（4α+）sin= 故答案为：（1）T=（2）cos4α= 【思路点拨】（1）首先把三角关系式通过恒等变换转化成正弦型函数，进一步求出最小正周期． （2）由（1）的结论进一步对所求的结果4α变换成（4α- ）+根据相关结果求值． 21. （07年宁夏、 海南卷）（本小题满分12分） 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高． 参考答案： 解析：在中，． 由正弦定理得． 所以． 在中，． 22. 已知曲线C1：ρ=2sinθ，曲线（t为参数） （I）化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程； （II）若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程． 【专题】计算题． 【分析】（I） 利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C1为直角坐标方程；消去参数t得曲线C2的普通方程． （II）先在直角坐标系中算出曲线C2与x轴的交点的坐标，再利用直角坐标中结合圆的几何性质即可求|MN|的最大值． 【解答】解：（I）曲线C1的极坐标化为ρ2=2ρsinθ 又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ 所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2﹣2y=0 因为曲线C2的参数方程是， 消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y﹣8=0 （II）因为曲线C2为直线 令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0） 曲线C1为圆，其圆心坐标为C1（0，1），半径r=1，则 ∴，|MN|的最大值为 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化及参数方程与普通方程的互化，能在直角坐标系中利用圆的几何性质求出最值，属于基础题．