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浙江省衢州市衢江区杜泽中学2023年高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在中,,且,点满足,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. .过点(-1,2),且斜率为2的直线方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
由直线的点斜式计算出直线方程.
【详解】因为直线过点(-1,2),且斜率为2,所以该直线方程为,即.故选A.
3.
参考答案:
C
略
4. 如图,在中,,是上的一点,若,则实数的值为( )
A. B. C.1 D.3
参考答案:
A
5. 已知圆的方程为,设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
由题意作出图像,根据圆的方程得到圆心坐标与半径,由过点的直线过圆心时,对应的弦是最长的,得到;由过点的直线与垂直时,对应的弦最小,求出,进而可求出结果.
【详解】如图所示,记圆的圆心为,则,半径.
当过点的直线过圆心时,对应的弦是最长的,此时,;
当过点的直线与垂直时,对应的弦最小,
此时在中,,,故.
此时四边形ABCD的面积为:.
故选B.
【点睛】本题主要考查直线与圆的应用,根据几何法求出弦长即可,属于常考题型.
6. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )
A. B. C. D.5
参考答案:
C
7. 设函数 是偶函数,且在上单调递增,则( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
8. 已知α,β为锐角,且cosα=,cosβ=,则α+β的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】G9:任意角的三角函数的定义;GP:两角和与差的余弦函数.
【分析】由题意求出,,然后求出0<α+β<π,求cos(α+β)的值,确定α+β的值.
【解答】解:由α,β为锐角,且cosα=,cosβ=,
可得,,且0<α+β<π,
,
故
故选B.
9. 四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间的函数关系分别是. 如果运动的时间足够长,则运动在最前面的物体一定是
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列条件,能得到的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),若f(m)=8,则m= .
参考答案:
3
【考点】指数函数的图象与性质.
【专题】计算题;方程思想;函数的性质及应用.
【分析】设函数f(x)=ax,a>0 且a≠1,把点(2,4),求得a的值,可得函数的解析式,进而得到答案.
【解答】解:设函数f(x)=ax,a>0 且a≠1,
把点(2, 4),代入可得 a2=4,
解得a=2,
∴f(x)=2x.
又∵f(m)=8,
∴2m=8,
解得:m=3,
故答案为:3
【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,求函数的值,难度不大,属于基础题.
12. 已知等差数列中,,则其公差为 。
参考答案:
略
13. 点P(2,7)关于直线的对称点的坐标为 .
参考答案:
(-8,-3)
14. 将函数的图象向右平移后,得到的函数的解析式是 .
参考答案:
15. 在⊿ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则⊿ABC的形状一定是 ▲
参考答案:
直角三角形;
16. 计算 .
参考答案:
5
17. 图中所示的是一个算法的流程图,已知,输出的,则的值是____________.
参考答案:
11
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知不等式的解集为A.
(Ⅰ)若,求集合A;
(Ⅱ)若集合A是集合的子集,求实数a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ) (Ⅱ)
【分析】
(I)结合二次函数图象直接得出一元二次不等式的解集;
(II)结合已知集合的包含关系得出,从而可写出集合,再由包含关系得出的最终取值范围.
【详解】(Ⅰ)当时,由 ,
得
解得
所以
(Ⅱ)因为
可得,
又因为集合是集合的子集,
所以可得,(当 时不符合题意,舍去)
所以
综上所述.
19. (本小题满分8分)如图在直三棱柱中,
,点是的中点.
(1)求证:;
(2)求证平面;
参考答案:
证明:(1)在直三棱柱中,平面
面,.
(2)设,连
为中点,
平面平面
平面
略
20. (1)证明三倍角的余弦公式:cos3θ=4cos3θ﹣3cosθ;
(2)利用等式sin36°=cos54°,求sin18°的值.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;运用诱导公式化简求值.
【分析】(1)将cos3θ化简为cos(2θ+θ),利用两角和差的公式和二倍角公式化简即可证得.
(2)利用二倍角公式化简,和同角三角关系式,转化为二次函数即可求sin18°的值.
【解答】解:(1)cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ﹣sin2θsinθ=(2cos2θ﹣1)cosθ﹣2sin2θcosθ=2cos3θ﹣cosθ﹣2(1﹣cos2θ)cosθ=4cos3θ﹣3cosθ.
(2)sin36°=cos54°,
∵sin36°=2sin18°cos18°
∵cos54°=4cos318°﹣3cosθ.
∴2sin18°=4cos218°﹣3.
则sin18°=2cos218°﹣.
2(1﹣sin218°)﹣sin18°﹣=0,
令sin18°=t,(t>0)
则有:2﹣2t2﹣t﹣=0,
解得:t=,
即sin18°的值为:.
21. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,且.
(1)求角C的大小;
(2)求的取值范围.
参考答案:
解:(1)∵ ∴
∴
∴
∴又
∴
(2)
∵ ∴
∴
∴的取值范围是.
22. (本小题满分6分)
如图,,,,
若,求证:.
参考答案:
证明:∵ ,,,
∴ .
同理,,
∴ ,又
∴
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