湖北省宜昌市当阳高级中学高二数学理模拟试卷含解析

湖北省宜昌市当阳高级中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 高二年级有男生560人，女生420人，为了解学生职业规划，现用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280人的样本，则此样本中男生人数为（　　） A．120 B．160 C．280 D．400 参考答案： B 【考点】分层抽样方法． 【分析】先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果． 【解答】解：∵有男生560人，女生420人， ∴年级共有560+420=980， ∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本， ∴每个个体被抽到的概率是=， ∴要从男生中抽取560×=160， 故选：B． 【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题． 2. 已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m． 【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为， 显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6， ，解得m=8 故选D 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了． 3. 设，则的值为（   ） A. 1 B. 16 C. -15 D. 15 参考答案： C 【分析】 令，可解得的值，再求出的系数的值，从而可得结果. 【详解】解：令， 可得， 即， 含有的项为， 所以， 所以， 故选C. 【点睛】本题考查了二项式定理的知识，赋值法是常见的解题方法. 4. 已知等差数列的公差为，若是与的等比中项， 则（        ）   A．   B．   C．      D． 参考答案： B 5. 设等比数列的公比，前项和为，则的值为（    ） （A）    （B）     （C）        （D） 参考答案： B 6. 函数f（x）=x2﹣lnx的递减区间为（　　） A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞） 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可． 【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x﹣=， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1， 故函数f（x）在（0，1）递减， 故选：B． 7. 在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（   ） A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 参考答案： C 8. 抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】利用点到直线的距离公式，结合配方法，即可得到结论． 【解答】解：设抛物线y=x2上的点的坐标为（x，y），则 由点到直线的距离公式可得d===≥ ∴抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是 故选B． 9. 设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a 参考答案： B 考点： 对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值．  专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用对数函数、幂函数及指数函数的单调性即可比较出大小． 解答： 解：∵log70.3＜log71=0，0＜0.37＜0.30=1，1=70＜70.3， ∴c＜b＜a， 故选B． 点评： 熟练掌握对数函数、幂函数及指数函数的单调性是解题的关键．注意与0、1的比较． 10. 设原命题：若，则a,b中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是     A．原命题真，逆命题假                   B．原命题假，逆命题真     C．原命题与逆命题均为真命题             D．原命题与逆命题均为假命题 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数R），若关于的方程有三个不同实根，则的取值范围是 . 参考答案： (-2,2) 12. 对于椭圆和双曲线有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;  ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是              。 参考答案： ①② 略 13. 已知结论：“正三角形中心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”. 若把该结论推广到空间，则有结论： . 参考答案： 正四面体中心到顶点的距离是到对面三角形中心距离的3倍 14. 某礼堂第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依次类推，第16排的座位数是          参考答案： 15. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为　　． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D1EC的距离． 【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2， 点E为AB的中点， 以D为原点，建立空间直角坐标系，如图 ∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0）， D1（0，0，1）， =（0，1，0），=（﹣1，1，0）， =（﹣1，﹣1，1）， 设平面D1EC的法向量=（x，y，z）， 则， 取y=1，得=（0，1，1）， ∴点B到平面D1EC的距离： d==． 故答案为：． 16. 命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是　      　． 参考答案： 存在x∈R，x2+x+1＜0 【考点】命题的否定． 【分析】根据全称命题否定的方法，结合已知中原命题，可得答案． 【解答】解：命题“任意x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“存在x∈R，x2+x+1＜0” 故答案为：存在x∈R，x2+x+1＜0 17. 已知向量，，若，则          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由． 参考答案： （Ⅰ）证明：取中点，连结，                   ………………1分 因为△是正三角形，所以. 因为 四边形是直角梯形，，， 所以 四边形是平行四边形，， 又   ，所以 . 所以 平面，………………3分 所以 .       ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面平面， ，所以平面， 所以 .       ………………5分 如图所示，以为原点建立空间直角坐标系. 则 ，，，，.  所以 ,，                        ………………6分 设平面的法向量为，则                       ，                        ………………7分 令，则,.所以.              ………………8分 同理求得平面的法向量为，                ………………9分 设平面与平面所成的锐二面角为，则 .                所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.     ………………10分 （Ⅲ）解：设，因为， 所以，,. 依题意    即           ………………11分 解得 ，.                                  ………………12分 符合点在三角形内的条件.                            ………………13分 所以，存在点，使平面，此时.…………14分 19. （本小题满分12分）某民营企业生产两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）． （Ⅰ）分别将两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式；网] （Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．   参考答案： 解：（1）投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元， 由题设=，=，．                               …………2分 由图知，又           …………4分 从而=，=，              …………6分 （2）设A产品投入万元，则B产品投入10-万元，设企业的利润为y万元 Y=+=，（），            …………8分     令…………10分 当，，此时=3．75  当A产品投入3．75万元，B产品投入6．25万元时，企业获得最大利润约为4万元。                    …………12分 略 20. 已知展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）7展开式的二项式系数的和大128，求展开式中的系数最大的项和系数最小的项． 参考答案： 【考点】DA：二项式定理． 【分析】先由条件求出n=8，再求出二项式展开式的通项公式，再由二项式系数的性质求得当r为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求得展开式中的系数最大的项和系数最小的项． 【解答】解：由题意可得 2n﹣27=128，解得n=8． 故 = 展开式的通项公式为 Tr+1=?x16﹣2r?（﹣1）r?x﹣r=（﹣1）r??x16﹣3r． 由二项式系数的性质可得，当r=4时，展开式中的系数最大，为T5=?x4=70x4； 当r=3或5时，展开式中的系数最小，为 T4=﹣?x7=﹣56x7，或 T6=﹣?x=﹣56x． 21. 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆左顶点作直线，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到 直线的距离小4，求点M的轨迹方程. 参考答案： 22. 已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足． （Ⅰ）求证：是等差数列； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）由题意知，   ∴数列 的等差数列 （Ⅱ）由（1）知， 于是 两式相减得 （Ⅲ） ∴当n=1时，,当 ∴当n=1时，取最大值是, 又