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湖北省宜昌市当阳高级中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 高二年级有男生560人,女生420人,为了解学生职业规划,现用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280人的样本,则此样本中男生人数为( )
A.120 B.160 C.280 D.400
参考答案:
B
【考点】分层抽样方法.
【分析】先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数,用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率,用男生人数乘以概率,得到结果.
【解答】解:∵有男生560人,女生420人,
∴年级共有560+420=980,
∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,
∴每个个体被抽到的概率是=,
∴要从男生中抽取560×=160,
故选:B.
【点评】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,这是解题的依据,本题是一个基础题.
2. 已知椭圆,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】先把椭圆方程转换成标准方程,进而根据焦距求得m.
【解答】解:将椭圆的方程转化为标准形式为,
显然m﹣2>10﹣m,即m>6,
,解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了.
3. 设,则的值为( )
A. 1 B. 16 C. -15 D. 15
参考答案:
C
【分析】
令,可解得的值,再求出的系数的值,从而可得结果.
【详解】解:令,
可得,
即,
含有的项为,
所以,
所以,
故选C.
【点睛】本题考查了二项式定理的知识,赋值法是常见的解题方法.
4. 已知等差数列的公差为,若是与的等比中项, 则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 设等比数列的公比,前项和为,则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
6. 函数f(x)=x2﹣lnx的递减区间为( )
A.(﹣∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
B
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可.
【解答】解:f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=x﹣=,
令f′(x)<0,解得:0<x<1,
故函数f(x)在(0,1)递减,
故选:B.
7. 在正四棱柱中,顶点到对角线和到平面的距离分别为和,则下列命题中正确的是( )
A.若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为
B.若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为
C.若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为
D.若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为
参考答案:
C
8. 抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】利用点到直线的距离公式,结合配方法,即可得到结论.
【解答】解:设抛物线y=x2上的点的坐标为(x,y),则
由点到直线的距离公式可得d===≥
∴抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是
故选B.
9. 设a=70.3,b=0.37,c=log70.3,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a
参考答案:
B
考点: 对数值大小的比较;有理数指数幂的化简求值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用对数函数、幂函数及指数函数的单调性即可比较出大小.
解答: 解:∵log70.3<log71=0,0<0.37<0.30=1,1=70<70.3,
∴c<b<a,
故选B.
点评: 熟练掌握对数函数、幂函数及指数函数的单调性是解题的关键.注意与0、1的比较.
10. 设原命题:若,则a,b中至少有一个不小于,则原命题与其逆命题的真假情况是
A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真
C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数R),若关于的方程有三个不同实根,则的取值范围是 .
参考答案:
(-2,2)
12. 对于椭圆和双曲线有下列命题:
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 。
参考答案:
①②
略
13. 已知结论:“正三角形中心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”. 若把该结论推广到空间,则有结论: .
参考答案:
正四面体中心到顶点的距离是到对面三角形中心距离的3倍
14. 某礼堂第一排有5个座位,第二排有7个座位,第三排有9个座位,依次类推,第16排的座位数是
参考答案:
15. 如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E为AB的中点,则点B到平面D1EC的距离为 .
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】以D为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点B到平面D1EC的距离.
【解答】解:∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E为AB的中点,
以D为原点,建立空间直角坐标系,如图
∴B(1,2,0),C(0,2,0)E(1,1,0),
D1(0,0,1),
=(0,1,0),=(﹣1,1,0),
=(﹣1,﹣1,1),
设平面D1EC的法向量=(x,y,z),
则,
取y=1,得=(0,1,1),
∴点B到平面D1EC的距离:
d==.
故答案为:.
16. 命题“任意x∈R,x2+x+1≥0”的否定是 .
参考答案:
存在x∈R,x2+x+1<0
【考点】命题的否定.
【分析】根据全称命题否定的方法,结合已知中原命题,可得答案.
【解答】解:命题“任意x∈R,x2+x+1≥0”的否定是“存在x∈R,x2+x+1<0”
故答案为:存在x∈R,x2+x+1<0
17. 已知向量,,若,则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)如图所示,四边形为直角梯形,,,为等边三角形,且平面平面,,为中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在内是否存在一点,使平面,如果存在,求的长;如果不存在,说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)证明:取中点,连结, ………………1分
因为△是正三角形,所以.
因为 四边形是直角梯形,,,
所以 四边形是平行四边形,,
又 ,所以 .
所以 平面,………………3分
所以 . ………………4分
(Ⅱ)解:因为平面平面,
,所以平面,
所以 . ………………5分
如图所示,以为原点建立空间直角坐标系.
则 ,,,,.
所以 ,, ………………6分
设平面的法向量为,则
, ………………7分
令,则,.所以. ………………8分
同理求得平面的法向量为, ………………9分
设平面与平面所成的锐二面角为,则
.
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. ………………10分
(Ⅲ)解:设,因为,
所以,,.
依题意 即 ………………11分
解得 ,. ………………12分
符合点在三角形内的条件. ………………13分
所以,存在点,使平面,此时.…………14分
19. (本小题满分12分)某民营企业生产两种产品,根据市场调查和预测,产品的利润与投资成正比,其关系如图1;产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元).
(Ⅰ)分别将两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式;网]
(Ⅱ)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元.(精确到1万元).
参考答案:
解:(1)投资为万元,A产品的利润为万元,B产品的利润为万元,
由题设=,=,. …………2分
由图知,又 …………4分
从而=,=, …………6分
(2)设A产品投入万元,则B产品投入10-万元,设企业的利润为y万元
Y=+=,(), …………8分
令…………10分
当,,此时=3.75
当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约为4万元。
…………12分
略
20. 已知展开式中的二项式系数的和比(3a+2b)7展开式的二项式系数的和大128,求展开式中的系数最大的项和系数最小的项.
参考答案:
【考点】DA:二项式定理.
【分析】先由条件求出n=8,再求出二项式展开式的通项公式,再由二项式系数的性质求得当r为何值时,展开式的系数最大或最小,从而求得展开式中的系数最大的项和系数最小的项.
【解答】解:由题意可得 2n﹣27=128,解得n=8.
故 = 展开式的通项公式为 Tr+1=?x16﹣2r?(﹣1)r?x﹣r=(﹣1)r??x16﹣3r.
由二项式系数的性质可得,当r=4时,展开式中的系数最大,为T5=?x4=70x4;
当r=3或5时,展开式中的系数最小,为 T4=﹣?x7=﹣56x7,或 T6=﹣?x=﹣56x.
21. 已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,长轴长等于12,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆左顶点作直线,若动点M到椭圆右焦点的距离比它到
直线的距离小4,求点M的轨迹方程.
参考答案:
22. 已知数列是首项,公比的等比数列,设,数列满足.
(Ⅰ)求证:是等差数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)若对一切正整数恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)由题意知,
∴数列
的等差数列
(Ⅱ)由(1)知,
于是
两式相减得
(Ⅲ)
∴当n=1时,,当
∴当n=1时,取最大值是, 又
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