安徽省黄山市2022届高三下学期第二次质量检测 数学（文）含答案

黄山市2022届高中毕业班第二次质量检测 数学（文科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位. 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题 满分60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题.） 1. 若集合，，则等于 A. B. C. D. 2. 已知复数满足为虚数单位，则 A. B. C. D. 3. “”是“对任意的正数，均有”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则 A. B. C. D. 5．设实数、满足，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 6. 函数的图象的大致形状是 A B C D 7. 赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公 元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序 时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦 图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如 图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如 图(2)所示的图形，它是由3个全等的三 第7题图 角形与中间的一个小等边三角形拼成的一 个大等边三角形，设，则图中 阴影部分与空白部分面积之比为 A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，若，则直线的斜率为 A. B. C. D. 9. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为 A. 1 B. C. 2 D. 10. 在四棱锥中，底面梯形中，， ，与交于点，，连接，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 11. 从双曲线的右焦点引圆的切线交双曲线左支于，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则 A. B. C. D. 12. 已知函数，至少有个零点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 第II卷（非选择题 满分90分） 二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题.） 13.已知均为单位向量，若，则与的夹角为 ． 14.若整数x、y满足不等式组则的最小值为 ． 15.已知三棱锥各个顶点都在球的表面上，，，，、分别为、的中点，且.则球的表面积是 ． 16.在中，角的对边分别为，，若有最大值，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在答题卷的相应区域答题.） （一）必考题：共60分. 17.（本题满分12分） 为了解高一年级学生的选科意愿，某学校随机抽取该校名高一学生进行调查，其中女生与男生人数比是2:3，已知从人中随机抽取人，抽到报考物理的学生的概率为. 学科 物理 历史 合计 女生 20 男生 合计 （1）请补全列联表，并判断是否有的把握认为选科与性别有关； （2）为了解选择物理学科意愿的同学的选择原因，从选物理的同学中抽取了人，其中有名女生，并从这名同学选出人进行“当面交流”，问该组有女生的概率？ 附表及公式： 3.841 6.635 10.828 18．（本题满分12分） 直角梯形中，，，，将梯形沿中位线折起使,并连接得到多面体,连接. （1）求证：平面； （2）求到平面的距离. 19.（本题满分12分） 已知数列、满足,若数列是等比数列，且 ． （1）求数列、的通项数列； （2）令，求的前项和为. 20.（本题满分12分） 已知函数. （1）求的极值； （2）当时, 求证：. 21.（本题满分12分） 如图，已知椭圆：经过点，、为椭圆的左右顶点， 为椭圆的右焦点，． （1）求椭圆的方程； （2）已知经过右焦点的直线(不经过点)交椭圆于两点，交直线于点，若，求直线的斜率． （二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程 22.（本题满分10分） 已知直线的参数方程为 (其中为参数),以坐标原点为极点,以轴正 半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 (其中). （1）若点的直角坐标为,且点在曲线围成的区域内（不含边界）,求实数的取值范围； （2）若,当变化时,求直线被曲线截得的弦长的取值范围. 选修4-5：不等式选讲 23.（本题满分10分） 已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若的图象与轴围城的三角形面积大于，求的取值范围. 黄山市2022届高中毕业班第二次质量检测 数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B D C B B C D B A 二、填空题（本题共4小题,每小题5分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解：由比例可知男生有60人，女生40人，故有： 学科 物理 历史 合计 女生 20 20 40 男生 55 5 60 合计 75 25 100 ……………………………………………………2分 ，故有的把握认为选科与性别有关. ………6分 （2）由题意可知：把这个人中女生记为、,男生记为、、、. 从人中选出个人，所有的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共20种． ………………………………………………………………………………………8分 有女生的有、、、、、、、、、、、、、、、共16种. ………………………………10分 故有女生的概率是． ……………………………………………………………………12分 18. 解：（1）,,过作垂足为, 则， …………………………………2分 又有 ………4分 又 ……………………………5分 （2）设点到平面的距离为 即 ……………………………………………………7分 由得又 且由（1）知，， …………………………………10分 ，故到的距离为. ……………………………………12分 19. 解： …………………………………………………………1分 当时，， ，又，∴ …………………………2分 是以为首项，为公比的等比数列， ……………………………………3分 ∴当时， 由累加法可得：， 又当时，也适合上式，∴ ……………………………………5分 ……………………………………………………………………7分 ∴① ∴② ①-②有： ……………10分 ∴ ……………………………………12分 20. 解：（1）由题意得 ………………1分 ∴当时，，当时， ∴在上单调递减，在上单调递增 …………………………………………3分 故有极小值，为，无极大值. ……………………………………………………5分 （2）证明：因为，所以， ∴要证，即证， 只需证 ……………………………………7分 又因为，所以只需证函数在上单调递增. ………………………8分 令，则 令，则 因为当时，恒成立，∴在上单调递增. …………………………………10分 ∴，即，∴在上单调递增. 即函数在上单调递增. 故成立. ………………………………12分 21. 解：（1）易知，， ∴， ① ………………………………………2分 又椭圆过点，∴ ② 又 ③ 由①②③可得，，， ∴椭圆的方程为． …………………………………5分 （2） 由题意可知直线斜率必存在．设直线：，， 由消去得：， ∴， …………………………………7分 ∵， 又∵， ∴ ∴ ……10分 解得点，∴ ………………………………12分 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程  解：（1）将代入曲线的极坐标方程得 …………2分 由于点在曲线的内部, ∴ …………………………4分 解得. ……………………………………………5分 （2）由于直线的参数方程为 (其中为参数)，则其极坐标方程为. …………………………………4分 将其代入曲线的极坐标方程整理得， 设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，则， ……………………………………………6分 则直线被曲线截得的弦长为 ………………8分 因为，∴. 即直线被曲线截得的弦长的取值范围是. ……………………10分 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲  解：（1）当时化为， 当时，不等式化为，解得，无解； 当时，不等式化为,解得； 当时，不等式化为，解得 所以的解集为. ………………………………5分 （2）由题设可得 …………………………6分 由于，所以函数的图象与轴围成的封闭图形是三角形，它的三个顶点分别为，，， ∴面积为 ……………………………9分 由题设得， 解得 所以的取值范围为. ………………………10分