浙江省台州市玉环市 2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

2022学年第一学期高二数学第一次月考试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项. 【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题. 2. 满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则A、B、C三点共线，选项C正确； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误； 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，三点共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点线距离公式即可求解. 【详解】因为点线距离公式为， 所以. 故选：B. 4. 若异面直线l1，l2的方向向量分别是，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积公式求异面直线的夹角的余弦值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于基础题. 5. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序的基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数，然后由古典概率计算公式可得答案. 【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽. 从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序， 基本事件总数， 其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数. 则这个音序中不含宫和羽的概率为. 故选：A. 6. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算求解． 【详解】由题意 ，又，，， ∴, 故选：B． 7. 已知点，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以直线过定点， 所以，， 直线在到之间， 所以或，故选A． 8. 如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加法可得，再利用向量的模长公式，结合向量数量积公式，化简整理式子即可得到答案. 详解】，， 与夹角大小为二面角的大小, ，， 又利用向量加法运算知， ， ，即 解得： 故选：A. 【点睛】本题考查空间中线段长的求法，解题时要认真审题，考查了学生的空间思维能力与运算能力，属于中档题，． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，少选得2分，多选得0分，共20分） 9. 已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确. 【详解】由题意，向量， 对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，所以，所以B正确； 对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确； 对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确. 故选：ABC 10. 随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（ ） A. 可以排成9个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为 C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于400的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果. 【详解】随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确； 其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为 ，故B正确； 其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确； 其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确. 故选：BD 11. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若，则，A，，一定共面 C. 过点且在轴截距相等的直线方程为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，考虑向量夹角可能平角即可判断； 对B，若共线，可由条件得共线，即共面. 若不共线，由空间共面向量定理的推论可得，A，，共面. 对C，考虑截距为0的情况即可判断； 对D，由，，即可求解. 【详解】对A，，不一定是钝角，可能是平角，A错； 对B，若不共线，由，得，A，，共面. 若共线，由得共线，即共面，B对； 对C，若截距均为0，则直线方程为，C错； 对D，，又，故，D对； 故选：BD 12. 如图，三棱锥中，平面，，，，到平面的距离为，则（ ） A. B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意得，设，进而根据等体积法得；再根据题意求得三棱锥的外接球的半径为，进而得B选项正确；再根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解讨论CD选项. 【详解】因为，，， 所以，即， 又因为平面， 所以，设， 根据等体积法，即， 解得，所以，故A选项正确； 所以三棱锥的外接球的半径与以为邻边的长方体的外接球的半径相等， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故B选项正确； 过点作的平行线，则平面， 所以以点为坐标原点，所在边分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 所以， 所以直线与直线所成角余弦值为，故C选项错误； 因为，， 设平面的法向量为， 则，即，令，所以，由于 故设与平面所成角为， 则. 所以与平面所成角的正弦值为，故D选项正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查空间几何的外接球的表面积，等体积法求值，异面直线所成角，线面所成角，考查运算求解能力，空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据等体积法得，进而建立空间直角坐标系求解即可. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知直线，. 若，则实数_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求解即可. 【详解】由题意可知且， 因为直线，，且， 所以， 由，得，解得或， 当时，，所以舍去， 当时，满足， 所以， 故答案为： 14. 连掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，则事件“”的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】求出掷骰子两次的试验的基本事件总数，再求出所求概率的事件所含基本事件数即可计算作答. 【详解】掷骰子两次所得向上的点数分别为，为一个基本事件，则试验的基本事件有： ， ， ，共36个， “”的事件有：，共10个， 所以“”的事件概率为. 故答案为： 15. 已知直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】先由题意及直线的几何意义可推得，再分别令与求得在两坐标轴的截距，由此利用三角形面积与基本关系式即可求得面积的最小值. 【详解】因为直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点， 所以由化为，得，即，故， 令，则；令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即面积的最小值为. 故答案为：. . 16. 如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点为线段上一点，则最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 因为平面，所以，，根据 ，求出，，，又可化为，所以只需求出的最小值即可，即求直角三角形的斜边上的高即可得解. 【详解】如图： 因为平面，所以，， 设，则，，，， 因为，所以， 所以，即，解得， 所以，，， 所以， 当时，取最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了长方体的结构特征，考查了直线与平面所成的角，考查了空间向量的数量积，属于中档题. 四、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 已知空间向量 ，, ． （1）若，求； （2）若 ，求 的值． 【答案】（1） （2）-15 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的共线，列出方程，解得答案； （2）利用向量垂直，数量积等于0，求得，再根据向量的坐标运算即可得答案. 【小问1详解】 ，,解得：， 故，故 ． 【小问2详解】 由，可得 ，解得：， ， ，， ． 18. 已知三个点，，. （1）求直线的方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出斜率，然后利用点斜式可求出直线方程， （2）设，则由的中点在直线上，和，列方程组可求出点的坐标. 【小问1详解】 由题意得， 所以直线方程为，即， 【小问2详解】 设， 因为点关于直线的对称点为， 所以，即，解得， 所以点的坐标为. 19. 如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直得线线垂直，再证明平面，即可得证； （2）先证明平面，转化为点到平面的距离，再由等体积法求解. 【小问1详解】 因为平面，平面, 所以，四边形为正方形可知， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 取的中点，连接， ，如图， 则，且， ∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， 平面，平面，平面， 所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为． 利用等体积法： ， 即， 而， ∵在中，，在中， ∴， ∴． 即点到平面的距离为. 20. 某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过、、三道工序加工而成的，、、三道工序加工的元件合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一个元件，分别求该元件为一等品和二等品的概率； （2）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率. 【答案】（1）；. （2）. 【解析】 【分析】（1）一等品的概率直接利用独立事件的概率公式即可求得，二等品的概率按三道工序中