陕西省咸阳市永寿县2022-2023学年高二上学期月考(一)数学试题

2022~2023学年度高二上学期月考（一） 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 4．本卷主要考查内容：北师大版必修5第一章、第二章2.1． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，属于数列中的一项是（ ） A. 380 B. 392 C. 321 D. 232 【答案】A 【解析】 【分析】分别令选项中的数值等于，求出是自然数时的这一项，即可得到答案． 【详解】由题意，令，解得，所以A是正确的； 再令均无整数解，所以B、C、D都不正确， 故选：A． 2. 在中，若，则等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 结合正弦定理得到，即可得出结果. 【详解】由正弦定理可知，，即， 在中，，则， 所以，又， 所以或. 故选：D. 3. 设，数列是公比为2的等比数列，则（ ） A. 64 B. 160 C. 79.5 D. 31.5 【答案】C 【解析】 【分析】先由为等比数列得到的通项公式，再代值计算即可. 【详解】由题意，，所以， 所以. 故选：C 【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 4. 在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由余弦定理求得边c的长度，比较三边的大小，再运用余弦定理可得选项. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以最大的边为b，所以最大的角为角B， 所以最大角的余弦是， 故选：C. 【点睛】本题考查三角形余弦定理，三角形中大边对大角，属于基础题. 5. A为△ABC的内角，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：,由于,所以,,故,选C. 考点：1.辅助角公式；2.三角函数的性质. 6. 等比数列,…的第四项等于(     ) A. -24 B. 0 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】由x，3x+3，6x+6成等比数列得 选A. 考点：该题主要考查等比数列概念和通项公式，考查计算能力. 7. 设{}为等差数列，公差，为其前n项和，若，则=（　　） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1-2（11-1）=0，解得a1=20．故选B 考点：等差数列的性质 点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平方关系求得，再由面积公式计算． 【详解】因为，，所以，所以． 故选：A． 9. 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果. 【详解】由等比数列的性质可得：，，，成等比数列， 则，即，解得：， ，，解得：. 故选：D. 10. 数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】, ∴该数列为{}，其前99项和为：. 故选：B. 11. 在中，若，则的形状是 A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】题设中的边角关系可以转化为，故可判断三角形的形状. 【详解】有正弦定理有，因，故化简可得 即， 所以或者， 因，故 或者，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选A. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 12. 已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足，则 . 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，为整数. 故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形ABC的三边，若，则面积为 _____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得，再根据三角形面积公式，结合，即可求得面积. 【详解】由正弦定理得， 的面积 故答案 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了考生运用正弦定理及其变形公式解决问题的能力． 14. 已知数列中，，则数列通项公式为_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：为等比数列，公比为3，首项为，所以通项公式为 考点：构造法求数列通项公式 15. 在中，，，其面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案. 【详解】依题意，， 由余弦定理得，， 由正弦定理得. 故答案为： 16. 一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○○●○○○○○●○○○○○○○●○○○○○○○○○●…若依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前420个圆中●的个数是___________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据圆中的●将圆分组，然后归纳出结论． 详解】将圆分组： 第一组：○●，有2个圆； 第二组：○○○●，有4个圆； 第三组：○○○○○●，有6个圆； … 每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为 令， 解得， 即包含了20整组， 即有20个黑圆． 故答案为：20. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 在中，． （1）求的值； （2）设，求的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和得出，然后由诱导公式、余弦的二倍角公式可求得； （2）由正弦定理求解． 【小问1详解】 由和，得， 故，即． 又因为， 所以． 【小问2详解】 由题意可知，C为钝角，A，B均为锐角， 又∵， ∴， 则中，， 由正弦定理可得：， . 18. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若是等比数列，且，，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式； （2）求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 因此，； （2）设等比数列的公比为，则，，则，， 因此，. 19. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若． （1）求内角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边转化成角的正弦，再用两角和的正弦公式化简表达式，即可求出B的大小； （2）利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， ∴，又， ∴，又， ∴； （2）由余弦定理得：， 则， 所以， 当且仅当时取等号， 则， 所以面积的最大值是． 20. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差中项的性质得是等差数列，由等差数列的基本量求得通项公式； （2）裂项相消法求得和，可得证结论． 【小问1详解】 由，得数列为等差数列． 设等差数列的首项为，公差为d． ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ， ∴ ． ∴当时，． 21. 如图．在四边形中．，，． （1）求四边形的面积t （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义求得，用余弦定理求得，从而得，由诱导公式求得，再求得正弦值，然后用两个三角形的面积和得四边形面积； （2）由余弦定理求得，再由正弦定理求得结论． 【详解】解：（1）由条件，得，， ∴，则 ， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的面积 ． （2）在中， ， ∴，∴． 22. 已知函数的图像经过坐标原点，且，数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）设，其中，试比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）由求通项公式； （2）求出，由错位相减法求和； （3）由等差数列前项和公式求得后作差，分类讨论比较可得． 【小问1详解】 因为的图像过原点，所以，所以， 所以． 当时，， 又因为适合， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由，得， 所以，① ．② ②-①，得， 所以． 【小问3详解】 组成以0为首项，6为公差的等差数列， 所以； 组成以18为首项，4为公差的等差数列， 所以． 故， 所以，对于正整数n，当时，； 当时，； 当时，． 第13页/共13页 学科网（北京）股份有限公司