河北省张家口市东兴堡乡中学2022年高三数学理期末试题含解析

河北省张家口市东兴堡乡中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，当0时，恒成立， 则实数的取值范围是：        A．（0,1）       B．           C．             D． 参考答案： D 略 2. 已知，若，则b=                    (    ) （A）             （B）2              （C）  3            （D）27 参考答案： C 设 因为，所以 ，选C   3. 已知为复数的共轭复数，，则 （A） （B）   （C） （D） 参考答案： A 【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算． 【试题简析】因为，所以，故选（A）. 【错选原因】错选B：求出，忘了求； 错选C：错解； 错选D：错解. 4. 已知向量满足（      ） 参考答案： C 略 5. 已知向量都是非零向量，“”是“”的（  ） A．充分非必要条件．           B．必要非充分条件． C．充要条件．                 D．既非充分也非必要条件． 参考答案： A 6. 已知满足，则的最大值是(    ).  A.            B.          C.           D. 2 参考答案： 无 略 7. 设x，y满足约束条件 若的最大值与最小值的差为7，则实数（     ） （A）            （B）            （C）          （D） 参考答案： C 8. 用[]表示不大于实数a的最大整数，如[1，68]—1，设分别是方程及的根，则        A．2                        B．3                        C．4                        D．5 参考答案： C 9. 已知直线和直线，若，则a的值为（  ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 参考答案： D 分析：由及两条直线方程，可得，解此方程可得。 详解：因为 所以，即 解得 故选D。 点睛：两直线，若 ，则。本题考查两直线之间的位置关系及学生的运算能力。 10. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是 A．     B．    C．      D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若复数满足，则的最小值是        . 参考答案： 1 12. 设则　　　　． 参考答案： 答案： 解析：. 13. 已知a，b∈R，a2﹣2ab+5b2=4，则a+b的取值范围为           ． 参考答案： 考点：函数的零点与方程根的关系． 专题：计算题；不等式的解法及应用． 分析：设a+b=t，得b=t﹣a，代入a2﹣2ab+5b2=4后化为关于a的一元二次方程，由a有实根得判别式大于等于0，转化为关于t的不等式得答案． 解答： 解：设a+b=t，则b=t﹣a， 代入a2﹣2ab+5b2=4，得a2﹣2a（t﹣a）+5（t﹣a）2﹣4=0， 整理得：8a2﹣12at+5t2﹣4=0． 由△=（﹣12t）2﹣32（5t2﹣4）≥0，得t2≤8． 即． ∴a+b的取值范围为． 故答案为：． 点评：本题给出关于正数a、b的等式，求a+b的最小值．考查了利用换元法和一元二次方程有实根求解参数范围问题，考查数学转化思想方法，属于中档题． 14. 三棱锥中, , △是斜边的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线与所成的角为; ② 直线平面; ③ 面面; ④ 点到平面的距离是. 其中正确结论的序号是 _________ .   参考答案： 答案：① ② ③ 15. 观察下列等式: … 照此规律, 第n个等式可为        .   参考答案： 12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈） 观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为（－1）n·，所以第n个式子可为12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈） [考点与方法]本题考查观察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示；3.表达完整性，不要遗漏了n∈ 16. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y﹣d=0垂直，则数列{}的前100项的和为　　． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和． 【分析】直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y﹣d=0垂直，可得=﹣1， =1，解得a1，d．再利用等差数列的前n项和公式与“裂项求和”方法即可得出． 【解答】解：∵直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y﹣d=0垂直， ∴=﹣1， =1， 解得a1=2，d=2． ∴Sn=2n+=n2+n． ∴==． ∴数列{}的前100项的和=+…+ =1﹣=． 故答案为：． 【点评】本题考查了“裂项求和方法”、等差数列通项公式及其求和公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 已知(x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x+y=______. 参考答案： 9 已知(x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈ R，则由两个复数相等的充要条件可知，，解得，故x+y=9. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A、B、C对边a，b，c，已知向量   （l）求角A的大小；   （2）若，求边a的最小值． 参考答案： （l）（2）2   【知识点】向量在几何中的应用．F3 解析：（1）∵向量=（c﹣2b，a），=（cosA，cosC）且⊥．∴（c﹣2b）cosA+acosC=0 ∴sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA，∴sin（A+C）=2sinBcosA，∴sinB=2sinBcosA，∴cosA= 又∵A为三角形内角，∴A=； （2）若=4，即cb=8，由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bcsosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣24 又由基本不等式可得（b+c）2≥4bc=32 ∴a2≥8，即 边BC的最小值为2． 【思路点拨】（1）根据正弦定理边角互化，我们易将已知条件中转化为关于A角的三角方程，解方程，即可求出A角大小． （2）由（1）的中结论，代入余弦定理，结合基本不等式，可得两边和的最小值，代入即可求出边BC的最小值． 19. 已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）当a=1时，求f（x）的单调区间； （2）当时，判断f（x）的零点个数． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理． 【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而判断函数的零点个数即可． 【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x﹣ex﹣x， f′（x）=2e2x﹣ex﹣1=（2ex+1）（ex﹣1）， 令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0， 故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增； （2）a=时，f（x）=e2x﹣ex﹣x， f′（x）=e2x﹣ex﹣1=（2e2x+1）（ex﹣2）， 令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2， 故f（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增， 故f（x）min=f（ln2）=﹣1﹣ln2＜0， 故f（x）有2个零点． 20. 若函数同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数， ．当时，，则称此函数为D内的等射函数，设则： (1) 在(－∞,+∞)的单调性为　       　(填增函数或减函数)；(2)当为R内的等射函数时，的取值范围是                           ．   参考答案：   略 21. 公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分为两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X＜80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车．重庆市公安局交通管理部门在对G42高速公路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X（单位：毫克）的统计结果如下表： X [0，20） [20，40） [40，60） [60，80） [80，100） [100，+∞） 人数 t 1 1 1 1 1 依据上述材料回答下列问题： （1）求t的值； （2）从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人含有醉酒驾车司机的概率． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】（1）由酒精含量X（单位：毫克）的统计表能求了出t的值． （2）由题意知酒后违法驾车的司机共5人，其中有2人是醉酒驾车，由此能求出从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，这2人含有醉酒驾车司机的概率． 【解答】解：（1）由题意知： t=200﹣1﹣1﹣1﹣1﹣1﹣1=195． （2）由题意知酒后违法驾车的司机共5人，其中有2人是醉酒驾车， ∴从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人， 这2人含有醉酒驾车司机的概率： p=1﹣=． 22.  当时，求函数的最小值。 参考答案： 对称轴 当，即时，是的递增区间，； 当，即时，是的递减区间，； 当，即时，。