江西省赣州市平川中学高二数学理期末试卷含解析

江西省赣州市平川中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f（x）=x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤t，则实数t的最小值是 A. 20    B. 18    C. 3      D. 0 参考答案： A 2. 已知椭圆（）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点，若线段AB的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为__________。 A. B. C. D. 参考答案： D 3. 一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A．    B．    C．      D．  参考答案： B 略 4. 如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的定义，可求出|F2A|=2，|F1F2|=4，进而有|F1A|+|F2A|=6，由此可求C2的离心率． 【解答】解：由题意知，|F1F2|=|F1A|=4， ∵|F1A|﹣|F2A|=2， ∴|F2A|=2， ∴|F1A|+|F2A|=6， ∵|F1F2|=4， ∴C2的离心率是=． 故选B． 【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键． 5. 已知向量，若向量共线，则下列关系一定成立的是（    ） A．         B．         C．         D．或 参考答案： D 6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 参考答案： A 【考点】余弦定理． 【专题】计算题． 【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形． 【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边； 新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大． 而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角， 那么它为锐角三角形． 故选A 【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力． 7. 某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（    ） A. 600 B. 288   C. 480          D. 504 参考答案： D 略 8. 圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心的极坐标是（　　） A．（1，） B．（，） C．（，） D．（2，） 参考答案： C 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】先在极坐标方程ρ=（cosθ+sinθ）的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换化成直角坐标方程求解即得． 【解答】解：将方程ρ=（cosθ+sinθ）两边都乘以ρ得：ρ2=pcosθ+ρsinθ， 化成直角坐标方程为x2+y2﹣x﹣y=0．圆心的坐标为（，）． 化成极坐标为（1，）． 故选C． 9. 已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（　　） A．2 B．6 C．4 D．2 参考答案： B 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值． 【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4， 表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆． 由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC==2，CB=R=2， ∴切线的长|AB|===6． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题． 10. 当时，下面的程序段执行后所得的结果是 (    ) A．   B．   C．  D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设集合，那么点P（2，3）的充要条件是                          参考答案： m<-1,n<5 略 12. （1）已知圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为,()则直线与圆的交点的极坐标为______________． 参考答案： 略 13. 若全集集合，则=             . 参考答案：   14. 有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为               ．（精确到） 参考答案： 4.3   略 15. 已知，应用秦九韶算法计算时的值时，的值为________．． 参考答案： 24 略 16. 三点在同一条直线上，则k的值等于        参考答案： 略 17. 用0、1、2、3、4这5个数字可组成没有重复数字的三位偶数_   __个． 参考答案： 30 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片． （1）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于8的概率； （2）若随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字3的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于8”，任取三张卡片，利用列举法求出三张卡片上的数字全部可能的结果种数和数字之和大于或等于8的种数，由此能求出3张卡片上数字之和大于或等于8的概率． （Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”，利用列举法能求出两次抽取的卡片中至少一次抽到数字3的概率． 【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于8”， 任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是 （1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种， 数字之和大于或等于8的是（1、3、4），（2、3、4），共2种， 所以P（A）=．… （Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”， 第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为： （1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4） （3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个 事件B包含的结果有（1、3）（3、1）（2、3）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个， 所以所求事件的概率为P（B）=．… 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 19. 把“五进制”数转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数。 参考答案：       20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，是与在第一象限内的交点，且.  （1）求的值与椭圆的方程； （2）设点是椭圆上除长轴两端外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，请求出定值以及定点的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案： 解：（1）因为点在抛物线上，且，抛物线准线为， 所以，，解得：，                ……………………………3分 所以，抛物线方程为，焦点， 点代入得，所以点， 由它在椭圆上及椭圆右焦点为得 ，解得，所以，椭圆方程为.………………6分   （2）设，因为点是椭圆上除长轴两端外的任意一点， 所以，，即，设直线的斜率之积为定值，…………8分 所以，， 所以，，所以，， 所以，斜率之积为定值，定点的坐标为.         ………………12分   略 21. 如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，，且． （1）证明：直线BD∥平面PCE； （2）证明：平面PAC⊥平面PCE； （3）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值． 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【分析】 （1）连接，交于，设中点为，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（2）通过证明，证得平面，由此证得平面，进而有平面平面.（3）以点或者点建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF. 因为O，F分别为AC，PC的中点， 所以，且，因，且， 所以，且， 所以四边形OFED为平行四边形，所以，即 ， 又平面，面，所以面； （2）因为平面，平面，所以. 因为是菱形，所以. 因为，所以平面， 因为，所以平面 ， 因为平面，所以平面平面  ； （3）解法1：因为直线与平面所成角为， 所以，所以 ， 所以，故△为等边三角形. 设BC的中点为M，连接AM，则. 以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）. 则， ，设平面PCE的法向量为， 则,即， 令则所以   ， 设平面CDE的法向量为， 则即， 令则所以  ， 设二面角的大小为，由于为钝角， 所以． 所以二面角的余弦值为． 解法2：因为直线与平面所成角为，且平面， 所以，所以． 因为，所以为等边三角形． 因为平面，由（1）知， 所以平面． 因为平面，平面，所以且． 在菱形中，． 以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）． 则， 则， 设平面的法向量为， 则即， 令，则，则法向量． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则则法向量． 设二面角的大小为，由于为钝角， 则． 所以二面角的余弦值为． 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查运算求解能力，属于中档题.   22. （本题满分12分）设定点M，动点N在圆