江西省景德镇市第十五中学高一数学理上学期期末试题含解析

江西省景德镇市第十五中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设实数满足 , 则 的取值范围为  （   ） A．        B．      C．       D． 参考答案： D 2. △ABC中,D在AC上, ,P是BD上的点, ,则m的值（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 由题意得： 则 故选 3. 已知集合A到B的映射，那么集合A中元素2在B中所对应的元素是（    ）     A．2 B．5 C．6 D．8 参考答案： B 略 4. 下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的偶函数是（　　） A． B．y=x2 C．y=x﹣1 D．y=x3 参考答案： B 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】利用幂函数的性质直接判断求解． 【解答】解：在A中，y=过点（0，0），（1，1），是非奇非偶函数，故A错误； 在B中，y=x2过点（0，0），（1，1），是偶函数，故B正确； 在C中，y=x﹣1不过点（0，0），过（1，1），是奇函数，故C错误； 在D中，y=x3过点（0，0），（1，1），是奇函数，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查满足条件的幂函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用． 5. 已知圆圆那么这两个圆的位置关系是(  ) A. 内含 B. 外离 C. 外切 D. 相交 参考答案： C 【分析】 分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d＝R+r得到两圆的位置关系为外切． 【详解】解：由圆圆 得到圆心C1（0，﹣1），圆心C2（2，﹣1），且R＝1，r， ∴两圆心间的距离d2， 故d=R+r， ∴圆C1和圆C2的位置关系是外切． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d＝R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d＝R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）． 6. 下列四个函数中，在上为增函数的是（   ） A.     B.  C.     D.  参考答案： D 略 7. 集合= (     ） A．            B．{1}            C．{0,1,2}        D．{-1,0,1,2} 参考答案： C 8. 已知，又，，则等于(    ) A．0         B．       C.         D．或0 参考答案： B 9. 函数y=的定义域为（　　） A．（，+∞） B．[﹣∞，1） C．[，1） D．（，1] 参考答案： D 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0， 即0＜4x﹣3≤1，解得＜x≤1， 故函数的定义域为（，1]， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 10. 在等差数列{an}中，其前项和为Sn，且满足若，，则（    ） A. 24 B. 32 C. 40 D. 72 参考答案： C 【分析】 由题意结合等差数列的性质可得，，则，进一步可得的值. 【详解】∵，， ∴，，∴， ∴，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数y=的定义域为　　． 参考答案： {x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z} 【考点】H9：余弦函数的定义域和值域；33：函数的定义域及其求法． 【分析】由函数的解析式知，令被开方式2cosx﹣1≥0即可解出函数的定义域． 【解答】解：∵， ∴2cosx﹣1≥0，﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z 函数的定义域为 {x|﹣+2kπ≤x＜≤+2kπ，k∈Z} 故答案为：{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}． 12. （5分）函数f（x）=loga（x+1）﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是      ． 参考答案： （0，﹣2） 考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 由于函数y=logax的图象恒过定点（1，0），将y=logax的图象先向左平移1个单位，再下平移2个单位，即可得到函数f（x）的图象，进而得到定点． 解答： 由于函数y=logax的图象恒过定点（1，0）， 将y=logax的图象先向左平移1个单位，再下平移2个单位， 即可得到函数f（x）=loga（x+1）﹣2（a＞0，a≠1）的图象， 则恒过定点（0，﹣2）． 故答案为：（0，﹣2）． 点评： 本题考查对数函数的图象的特征，考查函数图象的变换规律，属于基础题． 13. 在下列五个命题中， ①函数y=tan(x+)的定义域是 {x | x ≠+ k，k∈Z}； ②已知sinα =，且α∈[0，2]，则α的取值集合是{} ； ③函数的最小正周期是； ④直线是函数图象的一条对称轴； ⑤函数的最小值为. 把你认为正确的命题的序号都填在横线上 . 参考答案： ①③④⑤ 14. 已知集合Ａ＝，若集合Ａ＝，则的取值范围是      。 参考答案： 15. 计算：的值是　　． 参考答案： 【考点】有理数指数幂的运算性质；有理数指数幂的化简求值．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 解：原式==2﹣4=． 故答案为． 【点评】熟练掌握指数幂的运算性质是解题的关键． 16. 给定函数①，②，③，④，其中在区 间（0，1）上单调递减的函数序号是                     参考答案： 略 17. 若││,││, 与的夹角为，则?的值是     参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=cos2x+（m﹣2）sinx+m，x∈R，m是常数． （1）当m=1时，求函数f（x）的值域； （2）当时，求方程f（x）=0的解集； （3）若函数f（x）在区间上有零点，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数与方程的综合运用；三角函数的最值． 【专题】计算题；解题思想；方程思想；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）当m=1时，化简函数的解析式，利用正弦函数的最值以及二次函数的最值求解即可． （2）当时，化简f（x）=0，即，求解即可． （3）利用换元法1+sinx=t，求出自变量的范围，判断函数的单调性，然后求解函数的最值． 【解答】解：f（x）=cos2x+（m﹣2）sinx+m=1﹣sin2x+（m﹣2）sinx+m=﹣sin2x+（m﹣2）sinx+m+1… （1）当m=1时， 当时，，当sinx=1时，f（x）min=0 所以，当m=1时，函数f（x）的值域是；… （2）当时，方程f（x）=0即， 即2sin2x+11sinx+5=0，解得，（sinx=﹣5已舍）…，和 所以，当时，方程f（x）=0的解集是… （3）由f（x）=0，得﹣sin2x+（m﹣2）sinx+m+1=0，﹣sin2x+（m﹣2）sinx+m+1=0， （1+sinx）m=sin2x+2sinx﹣1， ∵，∴1+sinx≠0， ∴… 令1+sinx=t，∵，∴ 令 设=， ∴g（t1）＜g（t2），∴g（t）在上是增函数， ∴g（t）在上的值域是， ∴m∈…． 【点评】本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力． 19. 已知函数，且，f（0）=0 （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的值域； （3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）． 参考答案： 【考点】函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断． 【专题】综合题；转化思想；待定系数法；函数的性质及应用． 【分析】（1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b； （2）由y=，分离2x=＞0，求得值域； （3）构造函数g（x）=f（x）﹣lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点． 【解答】解：（1）由已知可得，， 解得，a=1，b=﹣1，所以，； （2）∵y=f（x）=，∴分离2x得，2x=， 由2x＞0，解得y∈（﹣1，1）， 所以，函数f（x）的值域为（﹣1，1）； （3）令g（x）=f（x）﹣lnx=﹣lnx，因为， g（1）=f（1）﹣ln1=＞0， g（3）=f（3）﹣ln3=﹣ln3＜0， 根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3）， 因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在区间（1，3）上． 【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，函数值域的求法，以及方程根的存在性及根的个数判断，属于中档题． 20. （本小题满分12分） 已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足；在数列{bn}中， （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设，数列{cn}的前n项和为Tn. 若对任意，存在实数，使恒成立，求的最小值. 参考答案： 解：（1）对：当时，知 ……………………………（1分） 当时，由 ①—②得： ∴  ∵     ∴  即 为首项，公差为1的等差数列 ∴      …………………………………………………（2分） 对：由题 ∴         …………………………………………………（3分） ∴  为首项，公比为3的等比数列 ∴    即     ………………………………（5分） （2）由题知       …………………………………………………（6分）    ……………………①    ……………………② ①—② 得： ∴            …………………………………………（8分） 易知：递增，∴  又      ∴     ……………………………………（10分） 由题知：   ………………………………………………（11分）   即  的最小值为    ……………………………（12分）     21. 盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少p%，10天后总量变为原来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的，已知到今天为止，剩余的总量是原来的． （1）求p%的值； （2）到今天为止，工厂已经开采了几天？ （3）今后最多还能再开采多少天？ 参考答案： 解：设总量为a，由题意得： （1），解得． （2）设到今天为止，工厂已经开采了天，则， 即，解得． （3）设今后最多还能再开采n天，则， 即，即，即，故今后最多还能再开采25天．   22. （本小题满分12分）已知角的终边过点. （1）求的值； （2）求式子的值． 参考答案： 略