江西省九江市上奉中学高二数学理测试题含解析

江西省九江市上奉中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD，且MD = NB =1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是(　  　) A．MC⊥AN             B． GB∥平面AMN C．平面CMN⊥平面AMN   D．平面DCM∥平面ABN 参考答案： C 由题意，取中点O，易知就是二面角的平面角，有条件可知，，所以平面与平面不垂直，故C错误。 故选C。   2. 一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 参考答案： C 【考点】KA：双曲线的定义． 【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决． 【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r， 而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1； 圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2． 依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r， 则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|， 所以点P的轨迹是双曲线的一支． 故选C． 3. 已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（　　） A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0 参考答案： D 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程． 【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1， 故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0， 故选：D． 4. 将锐角三角形绕其一边旋转一周所形成的空间几何体是 A．一个圆柱 B．一个圆锥 C．一个圆台      D．两个圆锥的组合体 参考答案： D 可以画出一个锐角三角形，以其中的一个边为轴，竖直旋转，可以想象到是两个同底的圆锥扣在一起。故是两个圆锥的组合体。 故答案为：D。   5. 函数f（x）=（x﹣4）ex的单调递减区间是（　　） A．（﹣∞，3） B．（3，+∞） C．（1，3） D．（0，3） 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】求导，[（x﹣4）ex]′令导数小于0，得x的取值区间，即为f（x）的单调减区间． 【解答】解：f′（x）=[（x﹣4）ex]′=ex+（x﹣4）ex=ex（x﹣3）， 令f′（x）＜0得x＜3， ∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，3）． 故选A． 【点评】考查利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键． 6. 口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以表示取出球的最大号码，则 (   ) A. 4.5 B. 4 C. 3.5 D. 3 参考答案： A 【分析】 首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案. 【详解】 故. 故本题正确答案为A. 【点睛】本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力. 7. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是   （   ） A．                      B．或   C．                 D. 或 参考答案： D 8. 圆外的点对该圆的视角为时，点的轨迹方程是   A.                   B. C.        D. 参考答案： D 9. 若数列{an}，{bn}的通项公式分别是，，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣1，） B．[﹣2，） C．[﹣2，） D．[﹣1，） 参考答案： C 【考点】数列递推式．  【专题】等差数列与等比数列． 【分析】an＜bn对任意n∈N*恒成立，分类讨论：当n为偶数时，可得a＜2﹣，解得a范围．当n为奇数时，可得﹣a＜2+，解得a范围，求其交集即可． 【解答】解：∵an＜bn对任意n∈N*恒成立， ∴当n为偶数时，可得a＜2﹣，解得． 当n为奇数时，可得﹣a＜2+，解得．∴a≥﹣2． ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10. 下列说法错误的是（     ）． A．平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； B．一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行； C．一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 D．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设实数x，y满足约束条件，则的最大值为_______． 参考答案： 11        分析：作出可行域，变变形为，，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，将点代入，即可得结果. 详解： 作出约束条件表示的可行域， 由可得， 变变形为，， 平移直线， 由图可知当直线经过点时， 直线在轴上的截距最大， 将点代入， 可得取得最大值，故答案为. 点睛：本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 12. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线分别交于， 两点（点在轴上方），则         . 参考答案： 解法一：记，，准线为，分别过，作，， 则，，再过作于.在中， ，，，于是，，故所求为. 解法二： ，， ，，故所求为. 13. 已知函数，则不等式的解集为__________． 参考答案： （－3,2） 【分析】 先判断函数在上单调递增，则不等式等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果. 【详解】因为函数， 时，，且在上递增， 时，，且在上递增， 所以函数在上单调递增， 则不等式等价于， 解得，故答案为. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，属于中档题. 解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意判断函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则． 14. 已知x, y满足,则的最大值为              . 参考答案： １４ 15. 根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，= 。 参考答案：   16. 如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________． 参考答案： 17. 已知命题p:“”，命题q:“”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是___________. 参考答案： 解析： 由命题“p且q”是真命题可知命题p与命题q都成立.则有，可解得. w.w.w.k.s.5.u 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE． （I）求证：平面EAC⊥平面PBC； （Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定． 【分析】（I）由PC⊥底面ABCD，可得PC⊥AC．由AB=2，AD=CD=1，利用勾股定理的逆定理可得：AC⊥BC，因此AC⊥平面PBC，即可证明平面EAC⊥平面PBC． （II）取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得设P（0，0，a）（a＞0），可取=（1，﹣1，0），利用向量垂直与数量积的关系可得：为平面PAC的法向量．设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，可得，由于二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，可得==，解得a=4．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||=即可得出． 【解答】（I）证明：∵PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD， ∴PC⊥AC． ∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2， ∴AC⊥BC，又BC∩PC=C， ∴AC⊥平面PBC，又AC?平面EAC， ∴平面EAC⊥平面PBC． （II）解：取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系， 可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）， 设P（0，0，a）（a＞0），则E， =（1，1，0），=（0，0，a），=， 取=（1，﹣1，0），则=0， ∴为平面PAC的法向量． 设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即， 取=（a，﹣a，﹣4）， ∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值为， ∴===，解得a=4， ∴=（4，﹣4，﹣4），=（1，1，﹣4）． 设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||===， ∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为． 19. （12分）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，，M是的中点，N是的中点，点Q在上，且，用表示 （1）       (2)       (3) 参考答案： (1)    (2)   (3) 略 20. 环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准： 空气污染指数 (0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，300] (300，＋∞) 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染   某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05. (1)求频率分布直方图中m的值； (2)若按分层抽样的方法，从空气质量等级为良与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率； (3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 11 27 11 7 3 1   根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.   空气质量优、良 空气质量污染 总计 限行前       限行后       总计         参考数据：