江西省九江市东林中学高三数学文月考试题含解析

江西省九江市东林中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）= ，若方程f（f（x））﹣=0在实数集范围内无解，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣1，﹣） B．（﹣，） C．[0，+∞） D．（﹣，﹣] 参考答案： C 【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断． 【分析】根据题意可得x＜0时，f（x）=＞0，即可得到k（）x+=0，方程无解，则k≥0，问题得以解决．再讨论x≥0时的情况． 【解答】解：当x＜0时，f（x）=＞0， ∴f（f（x））=k（）x+2， ∴k（）x+2﹣=0 ∴k（）x+=0， 当k≥0时方程无解， 当x≥0时，f（x）=kx+2， 若k≥0，则f（x）=kx+2≥2， ∴f（f（x））=k（f（x））≥2， ∴方程f（f（x））﹣=0，方程无解， 综上所述a≥0． 故选：C． 2. 定义两种运算：，，则函数（  ） A．是奇函数                     B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数         D．既不是奇函数又不是偶函数 参考答案： A 3. 实数，满足条件，则目标函数的最大值为 A．7         B．8            C．10          D．11 参考答案： C 略 4. 设等差数列的前项和为  、是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 考点：等差数列 试题解析：由题知： 所以在等差数列中， 故答案为：D 5. 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题． 【分析】由三视图可知几何体是一个正三棱柱，底面是一个边长是的等边三角形，侧棱长是，根据矩形和三角形的面积公式写出面积再求和． 【解答】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱， 底面是一个边长是的等边三角形， 侧棱长是， ∴三棱柱的面积是3××2=6+， 故选C． 【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小． 6. 函数的最小正周期为(     )                                       参考答案： B 略 7. 已知O、A、B、C是不共线的四点，若存在一组正实数，，，使＋＋= ，则三个角∠AOB，∠BOC，∠COA     A.都是锐角    B.至多有两个钝角    C.恰有两个钝角    D.至少有两个钝角。 参考答案： D 8. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为                             （    ）     A．       B．          C．       D． 参考答案： D 9. 已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（　　） A．2 B．2 C．   D． 参考答案： D 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值． 【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，则|AC|+|AF|=2a， 由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a， 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a， 可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点， 由C（0，4），F（，0），可得A（，2）， 代入抛物线的方程可得，4=2p?，解得p=2， 即有a=+=，A（，2）， 可得C到直线OA：y=2x的距离为d==， 可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=， 直线OA被圆C所截得的弦长为， 故选D 【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题． 　 10. 已知函数的图象如图所示，，则（  ） A、       B、       C、       D、 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等比数列中，若是方程的两根，则的值是_______. 参考答案： 略 12. 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________． 参考答案： x2=8y或y2＝x 【分析】 分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故x2=8y； 设抛物线的标准方程为：，不难验证(1,1)，(4,2)适合，故y2=x； 故答案为：x2=8y或y2＝x 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 13. 如图为一个棱长为2cm的正方体被过其中三个顶点的平面削去一个角后余下的几何体，试画出它的正视图                  ．   参考答案： （所画正视图必须是边长为2cm的正方形才给分） 略 14. 已知（为自然对数的底数），函数，则__________. 参考答案： 7 15. 若向量满足，且与的夹角为，则_________． 参考答案： 16. 平面向量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|＝       参考答案： 2【知识点】平面向量的数量积及应用F3 由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12∴|a+2b|=2. 【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方． 17. 已知函数f(x)=，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为　   ． 参考答案： [﹣20，﹣16] 【考点】分段函数的应用． 【分析】因为y=sinx  （x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可，只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有3个交点即可， 【解答】解：因为y=sinx  （x＜1）与y=x无交点，故只需函数f（x）=x3﹣9x2+25x+a（x≥1）的图象与直线y=x有三个不同的公共点即可， 令g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）， g′（x）=3x2﹣18x+24=3（x2﹣6x+8）=2（x﹣2）（x﹣4）， 当x∈（1，2），（4，+∞）时g（x）单调递增，当x∈（2，4）时g（x）单调递减， 依题意只需g（x）=x3﹣9x2+24x+a（x≥1）与x轴有3个交点即可， 及g（1）=16+a≤0，g（2）=20+a≥0，∴﹣20≤a≤﹣16． 故答案为[﹣20，﹣16] 【点评】题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于基础题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，证明下面问题． （Ⅰ）+++abc≥2； （Ⅱ）++≥． 参考答案： 【考点】R6：不等式的证明． 【分析】利用三项的均值不等式可得结论． 【解答】证明：（Ⅰ）因为a，b，c为正实数， 由均值不等式可得，即 所以， 而，所以．… （Ⅱ）．… 19. 已知函数 （1）求的定义域和值域； （2）若，求实数的取值范围。 参考答案： （1），………………………………6分 （2）由，得，解得………………………………12分 20. （本小题满分13分） 设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）． （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．   参考答案： 解答  （Ⅰ），函数，，当时，；当时，，故该函数在上单调递增，在上单调递减．∴函数在处取得极大值．···························································································································· 4分 （Ⅱ）由题在上恒成立，∵，，∴， 若，则，若，则恒成立，则． 不等式恒成立等价于在上恒成立，····· 6分 令，则， 又令，则，∵，． ①当时，，则在上单调递减，∴， ∴在上单减，∴，即在上恒成立；·· 7分 ②当时，． ⅰ）若，即时，，则在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，此时在上恒成立；························ 8分 ⅱ）若，即时，若时，，则在上单调递增，∴，∴在上也单调递增， ∴，即，不满足条件．················································ 9分 综上，不等式在上恒成立时，实数a的取值范围是．····· 10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，则， 当时，，令，则， ∴，∴，∴，······ 12分 又由（Ⅰ）得，即，当x＞0时，，∴， ， 综上得，即．  13分 21. 如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点， =，DE交AB于点F． （1）求证：O，C，D，F四点共圆； （2）求证：PF?PO=PA?PB． 参考答案： 证明：（1）连接OC，OE， 因为=，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…（2分） 又因为∠CDE=∠COE， 则∠AOC=∠CDE， 所以O，C，D，F四点共圆．…（5分） （2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线， 所以PD?DC=PA?PB，…（7分） 因为O，C，D，F四点共圆， 所以∠PDF=○POC， 又因为∠DPF=∠OPC， 则△PDF∽△POC， 所以，即PF?PO=PD?DC， 则PF?PO=PA?PB．…（10分） 考点： 相似三角形的判定． 专题： 选作题；推理和证明． 分析： （1）连接OC，OE，证明∠AOC=∠CDE，可得O，C，D，F四点共圆； （2）利用割线定理，结合△PDF∽△POC，即可证明PF?PO=PA?PB． 解答： 证明：（1）连接OC，OE， 因为=，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…（2分） 又因为∠CDE=∠COE， 则∠AOC=∠CDE， 所以O，C，D，F四点共圆．…（5分） （2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线， 所以PD?DC=PA?PB，…（7分） 因为O，C，D，F四点共圆， 所以∠PDF=○POC， 又因为∠DPF=∠OPC， 则△PDF∽△POC， 所以，即PF?PO=PD?DC， 则PF?PO=PA?PB．…（10分） 点评： 本题考查四点共圆，考查割线定理，三角形相似的性质，考查学生分析解决问