河北省邢台市私立春蕾学校高一数学文测试题含解析

河北省邢台市私立春蕾学校高一数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=2sin2x的最小正周期为（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 参考答案： D 【考点】H1：三角函数的周期性及其求法． 【分析】利用三角函数的周期公式求解即可． 【解答】解：函数y=2sin2x的最小正周期：T=． 故选：D． 2. 设a=20.2，b=ln2，c=log0.32，则a、b、c的大小关系是(     ) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 参考答案： B 【考点】对数值大小的比较． 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a=20.2＞1，0＜b=ln2＜1，c=log0.32＜0， 则a、b、c的大小关系是a＞b＞c． 故选：B． 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3. 如果，那么 A. B. C. D. 参考答案： D ，，即故选D 4. 在数列{an}中，若，，，设数列{bn}满足，则{bn}的前n项和Sn为（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 利用等差中项法得知数列为等差数列，根据已知条件可求出等差数列的首项与公差，由此可得出数列的通项公式，利用对数与指数的互化可得出数列的通项公式，并得知数列为等比数列，利用等比数列前项和公式可求出. 【详解】由可得， 可知是首项为，公差为的等差数列， 所以，即．由，可得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此，数列的前项和为，故选：D. 【点睛】本题考查利用等差中项法判断等差数列，同时也考查了对数与指数的互化以及等比数列的求和公式，解题的关键在于结合已知条件确定数列的类型，并求出数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题. 5. 若定义运算a?b=，则函数f（x）=3x?3﹣x的值域是(     ) A． C．（0，+∞） D．（﹣∞，+∞） 参考答案： B 【考点】函数的值域． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据题意将函数f（3x?3﹣x）解析式写出即可得到答案． 【解答】解：当x＞0时；f（3x?3﹣x）=3﹣x∈（0，1）； 当x=0时，f（3x?3﹣x）=30=1， 当x＜0时，f（3x?3﹣x）=3x∈（0，1）． 综上所述函数f（x）=3x?3﹣x的值域是（0，1]， 故选：B． 【点评】本题主要考查指数函数的图象．指数函数在高考中占很大比重，图象是研究函数性质的基础要引起重视． 6. 定义在区间（0，）上的函数y=6cosx与y=5tanx的图象交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长度为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】余弦函数的图象；正切函数的图象． 【分析】先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案． 【解答】解：作出对应的图象如图， 则线段P1P2的长即为sinx的值， 且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0， 解得sinx=．即线段P1P2的长为 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键． 7. 如图，U是全集，M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）． A．（M B．（M C．（MP）（CUS） D．（MP）（CUS） 参考答案： C 8. 已知函数是R上的偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是            （    ） A．       B．        C．      D． 参考答案： D 略 9. 已知集合A={x|x=3n+1，n∈N}，B={5，7，9，11，13}，则集合A∩B中元素的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x|x=3n+1，x∈N}={1，4，7，10，13，16…}， B={5，7，9，11，13}， 则集合A∩B={7，13}， 故对应的元素个数为2个， 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 10. 若，则a2017+b2017的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 参考答案： C 【考点】集合的相等． 【分析】由集合相等的性质求出b=0，a=﹣1，由此能求出a2017+b2017的值． 【解答】解：∵， ∴b=0，a=﹣1， ∴a2017+b2017=（﹣1）2017+02017=﹣1． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如右图所示，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于             参考答案： 略 12. ．已知函数，不等式对于恒成立，则实数的取值范围是            ． 参考答案： 略 13. 函数 (是常数，)的部分图象如图所示，下列结论： ①最小正周期为； ②将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数； ③； ④. 其中正确命题的序号是               ． 参考答案： ①④ 考点：三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数的图象变换等知识点的综合应用，属于中档试题，本题解答中根据函数图象的周期和特殊点求出函数的解析式，在根据函数单调性，对称性及其三角函数的图象变换进行合理的判断是解答本题的关键，着重考查了学生识图、用图和分析问题和解答问题的能力． 14. （5分）函数y=loga（x﹣1）+2（a＞0，a≠1）的图象恒过一定点是       ． 参考答案： （2，2） 考点： 对数函数的图像与性质． 分析： 本题考查的对数函数图象的性质，由对数函数恒过定点（1，0），再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论． 解答： 由函数图象的平移公式，我们可得： 将函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位 即可得到函数y=loga（x﹣1）+2（a＞0，a≠1）的图象． 又∵函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象恒过（1，0）点 由平移向量公式，易得函数y=loga（x﹣1）+2（a＞0，a≠1）的图象恒过（2，2）点 故答案为：（2，2） 点评： 函数y=loga（x+m）+n（a＞0，a≠1）的图象恒过（1﹣m，n）点； 函数y=ax+m+n（a＞0，a≠1）的图象恒过（﹣m，1+n）点； 15. 已知函数，正实数m，n满足m＜n，且，若在区间上的最大值为2，则n +m=__________． 参考答案： 由对数函数的性质知 ∵正实数，满足，且， ∴，以及， 又函数在区间上的最大值为，由于，， 故可得，即，即，即， 可得，，则． 16. 某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记，，，…，的长度构成的数列为，则{an}的通项公式an =__________. 参考答案： 根据题意：OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1 ∴， ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列 ∴. 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 17. 已知等差数列的前n项和为，若． 则下列四个命题中真命题是      ▲      ．(填写序号) ⑴        ⑵      ⑶       ⑷ 参考答案： （1）（2）（4） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设，求. 参考答案： 解析：∵ ∴ 19. （本小题满分12分） 已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB．BC的中点， （1）证明：PF⊥FD； （2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；． （3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 参考答案： 解：（1）证明：连接AF，则AF＝，DF＝， 又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD， ∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A， ……………4分 （2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD． 再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP， ∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD． 从而满足AG＝AP的点G为所求．………………8分     ⑶建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD ，所以是与平面所成的角． 又有已知得，所以，所以 ． 设平面的法向量为，由 得，令，解得：． 所以．又因为，所以是平面的法向量，易得，所以． 由图知，所求二面角的余弦值为．…………12分 略 20. 已知：等差数列{}中，=14，。 （1）求； （2）将{}中的第2项，第4项，…，第项按原来的顺序排成一个新数列， 求此数列的前项和. 参考答案： 解：（1）设数列公差为 由可得 于是 （2） 略 21. 已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜， （1）求tan2α的值； （2）求β． 参考答案： 【考点】GR：两角和与差的正切函数；GH：同角三角函数基本关系的运用． 【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值． （2）由条件求得sin（α﹣β）的值，利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos的值，从而求得β的值． 【解答】解：（1）由cosα=，0＜β＜α＜，可得sinα==，tanα==4， ∴tan2α===﹣． （2）由cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，可得sin（α﹣β）==， ∴cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β） =+=， ∴β=． 22. （本题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）求袋中原有白球的个数； （2）求取球两次终止的概率 （3）求甲取到白球的概率 参考答案： 解：（1）设袋中原有个白球，由题意知：，……………2分 解得（舍去），即袋中原有3个白球  …………4分 （2）记“取球两次终止”为事件 …………………………8分 3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次或第3次或第5次取到白球 记“甲取到白球”为事件  …………………12分 略