河北省邯郸市常耳寨中学2022年高二数学文下学期期末试题含解析

河北省邯郸市常耳寨中学2022年高二数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 数列满足，若，则数列的第2013项为（   ） A． B．       C． D．   参考答案： C 略 2. 现要完成下列3项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查． ②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈． ③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是(　　) A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 参考答案： A 3. 设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是(　　) A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有不成立 D．若成立，则当时，均有成立 参考答案： D 4. 设全集，集合，，则等于（   ） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 参考答案： D 略 5. 5位同学报名参加两个小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共(   ）种 A．10种 B．20种     C．25种      D．32种     参考答案： D 略 6. 有10件产品，其中2件次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是   A．    B．    C．    D． 参考答案： C 7. 直线与抛物线交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线的距离等于（   ） A．                      B．             C．4             D．2 参考答案： B 直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0） ∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣， ∴直线AB为过焦点的直线 ∴AB的中点到准线的距离 ∴弦AB的中点到直线x+ =0的距离等于2+=. 故选B．   8. 若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在 抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（    ） A．   B．    C．   D． 参考答案： D  解析：可以看做是点到准线的距离，当点运动到和点一样高时，取得最小值，即，代入得 9. 过椭圆上一点作圆的两条切线，为切点，过的直线与轴、轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积的最小值为(　  　) A．            B．           C．               D． 参考答案： D 10. 对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（   ） A．直线必经过点               B．增加一个单位时，平均增加个单位 C．样本数据中时，可能有 D．样本数据中时，一定有 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. NBA总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为__________． 参考答案： 0.3108 分析：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 能求出勇士队以比分4：1获胜的概率． 设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 能求出骑士队以比分4：1获胜的概率． 则恰好5场比赛决出总冠军的概率为. 详解：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．则 设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 能求出骑士队以比分4：1获胜概率．则 则恰好5场比赛决出总冠军的概率为 即答案为0.3108. 点睛：本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题． 12. 将3本不同的书全发给2名同学，每名同学至少一本书的概率是_________。 参考答案： 略 13. 将二进制数化为十进制数，结果为__________ 参考答案： 45 14. 棱长为2的正四面体，顶点到底面的距离是_______________.  参考答案： 15. 已知，则等于__________． 参考答案： 4 【分析】 根据导数的运算法则，即可得到结论． 【详解】∵f（x）＝tanx， ∴f′（x）， 则f′（）4， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础． 16. 如图是某几何体的三视图，其中正视图、俯视图的长均为4， 宽分别为2与4，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面 积是          ． 参考答案： 略 17. 从6双不同的手套中任取4只，恰有一双配对的概率为             。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四边形是矩形，平面、分别是、的中点，，求证： （1）平面； （2）平面平面。 参考答案： 略 19. （2016秋?厦门期末）如图，两个工厂A，B相距8（单位：百米），O为AB的中点，曲线段MN上任意一点P到A，B的距离之和为10（单位：百米），且MA⊥AB，NB⊥AB．现计划在P处建一公寓，需考虑工厂A，B对它的噪音影响．工厂A对公寓的“噪音度”与距离AP成反比，比例系数为1；工厂B对公寓的“噪音度”与距离BP成反比，比例系数为k．“总噪音度”y是两个工厂对公寓的“噪音度”之和．经测算：当P在曲线段MN的中点时，“总噪音度”y恰好为1． （Ⅰ）设AP=x（单位：百米），求“总噪音度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域； （Ⅱ）当AP为何值时，“总噪音度”y最小． 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）连接AP，BP，以AB为x轴，以O点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，求出曲线段MN的方程，即可求“总噪音度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域； （Ⅱ）换元，利用基本不等式，即可得出当AP为何值时，“总噪音度”y最小． 【解答】解：（Ⅰ）连接AP，BP，由已知得AP=x，BP=10﹣x，（1分） ∴y=+，（3分） 以AB为x轴，以O点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系． 由椭圆定义可得，曲线段MN的方程： =1（﹣4≤x≤4），（4分） 由已知得|MA|==，|AN|==， ∴． 当点P在曲线段MN的中点即AP=x=5时， =1，k=4， 所求函数为y=+（）．（6分） （Ⅱ）y=+（），可化为y=，（7分） 设t=3x+10，t，]，（8分） ∴y=≥，（10分） 当且仅当t=，即t=20t，]， 即x=时，“总噪音度”y的最小值为．（12分） 【点评】本题考查椭圆的定义，函数的表达式及基本不等式等知识；考查学生运算求解能力、应用数学文字语言转化为图形语言及符号语言解决问题的能力；考查数形结合思想与数学应用意识． 20. （本小题14分）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．   （1）证明：平面；   （2）设，求二面角的大小． 参考答案： 方法1：（综合法） （1）设为中点，连结，则，且，………1分 又，且， ∴，且，即四边形为平行四边形， ∴，………3分 ∵底面，底面，∴，………4分 ∵，为中点， ∴，又，………5分 ∴平面，故平面．………6分 （2）连结，过点作，垂足为，连结．……7分 由可知为正方形，则，     ∵平面，又平面， ∴，又， ∴平面，又平面，        ……………9分 ∴，又，， ∴平面，又平面， ∴，                                  ……………11分 ∴为二面角的平面角．         ……………12分 不妨设，则，，，， ∴， 所以二面角的大小为．             ……………14分 方法2：（坐标法） （1）设为中点，由知，以为正交基底建立如图的空间直角坐标系， 设，，，则，， ∴，，， ∴，， ∴，，又， 故平面． （2）由不妨设， 则，，，，， ∴，，， ∴，，即，，又， ∴平面，故平面的法向量可取． 又，，， ∴，，即，，又， ∴平面，故平面的法向量可取． ∵， ∴所以二面角的大小为．……………14分 21. 给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意得，根据离心率公式以及b=1，知a2=3，由此能求出椭圆C的方程． （Ⅱ）分类讨论，当CD⊥x轴时，当CD与x轴不垂直时，设直线CD的方程为y=kx+m，则韦达定理以及弦长公式和基本不等式求出弦长的最大值，由此能求出△AOB的面积取最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得，e2==1﹣=， 又∵b=1，∴a2=3， ∴椭圆C的方程为+y2=1， （Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4， ①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=． ②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为． 设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0． ∴x1+x2=，x1x2=． 当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2， =（1+k2）[﹣]， =， =3+， =3+， ≤3+=4， 当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2． 当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2， 此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=． 22. （本小题满分12分）若a∈R，解关于x的不等式. 参考答案： 原不等式可化为． （1）当a＝－2时，解集为：{x|x≠2}； （2）当a>－2时，解集为：{x|x>1－或x<－a}； （3）当a<－2时，解集为：{x|x>－a或x<1－}.