河北省衡水市深州北溪村乡中学2023年高三数学理期末试卷含解析

河北省衡水市深州北溪村乡中学2023年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设数列{an}的前n项和为Sn，且 ，则数列的前10项的和是（   ） A. 290 B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可 【详解】由得， 当时，，整理得， 所以是公差为4的等差数列，又， 所以，从而， 所以， 数列前10项的和. 故选. 【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题 2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是………………………………（　　） A． B. C． D. 参考答案： A 试题分析：B项在定义域上不是单调的，D项不具备奇偶性，C项是增函数，只有A项满足条件，故选A. 考点：函数的奇偶性，函数的单调性. 3. 若z∈C且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： A 【考点】复数求模．  【专题】数系的扩充和复数． 【分析】根据两个复数差的几何意义，求得|z﹣1﹣2i|的最小值． 【解答】解：∵|z+2﹣2i|=1，∴复数z对应点在以C（﹣2，2）为圆心、以1为半径的圆上． 而|z﹣1﹣2i|表示复数z对应点与点A（1，2）间的距离， 故|z﹣1﹣2i|的最小值是|AC|﹣1=2， 故选：A． 【点评】本题主要考查两个复数差的几何意义，求复数的模的最值，属于基础题． 4. 已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（　　）       B．     C．     D． 参考答案： A 定义域为， ①当时，，， 令，解得， 由，得，由，得， ∴当时，． 又是偶函数，∴图象关于轴对称，， ∵只有个公共点，∴最大值为1． 则最长周期为，即，即， 则，∴， 解得，故周期最大的，故选A． 5. 若集合=          （   ） A.    B.    C.    D. 参考答案： A 6. 已知集合，，则(   ) A．         B．        C．       D．  参考答案： D 略 7. 我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： B 【考点】系统抽样方法． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可． 【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6． 设抽到的最小编号x， 则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48， 所以x=3． 故选：B． 【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键． 8. 已知直线与曲线仅有三个交点，则实数m的取值范围是                （    ）        A．               B．            C．                  D． 参考答案： C 略 9. 设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（    ） A．        B．       C.          D． 参考答案： C 因为 ，所以 因此在上有两个不同的零点，由得 ，所以 令 ，则，所以 ，又，所以当时 ，当 时 ，要使方程有两个不同的零点，需，选C. 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 10. 若，则＝                                      A.               B.            C.        D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是双曲线-的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率是        ． 参考答案： 12. 设集合A={x||x|＜2，x∈R}，B={x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B=　　． 参考答案： （﹣2，1] 【考点】交集及其运算． 【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x||x|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}， B={x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}={x|x≥3或x≤1}， 则A∩B={x|﹣2＜x≤1}， 故答案为：（﹣2，1]． 13. 已知等腰△OAB中，|OA|=|OB|=2且，那么的取值范围是　　． 参考答案： [﹣2，4） 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】用表示出，将平方可得的范围，再利用数量积的定义得出的最值． 【解答】解：∵=||， ∴≥（）， 又， ∴≥﹣2． 又=2×2×cosA＜4， ∴﹣2≤＜4． 故答案为：[﹣2，4）． 14. 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为______. 参考答案： 略 15. 已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的最小值是       . 参考答案： 略 16. 设x，y满足约束条件，则的最大值为 ． 参考答案： 6 17. 已知，若对任意的，方程均有正实数解，则实数的取值范围是 ▲ ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥中， (Ⅰ)求证：平面⊥平面 (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值； (Ⅲ)若动点在底面三角形上，二面角的大小为，求的最小值. 参考答案： （1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC  由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面. ……4分 （2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ),                   ……5分 ∴ 设平面PBC的法向量，由得方程组： ，取  ……6分 ∴  . ∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.                  ……8分 （3）由题意平面PAC的法向量， 设平面PAM的法向量为 ∵又因为. ∴  取 . ，，此时 ……12分 19. 空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x个监测点数据统计如下： 空气污染指数 （单位：μg/m3） [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] 监测点个数 15 40 y 10 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图； （2）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？ 参考答案： 【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图； （2）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可． 【解答】解：（1）∵，∴x=100． ∵15+40+y+10=100，∴y=35.，，， 频率分布直方图如图所示： （2）在空气污染指数为50～100和150～200的监测点中分别抽取4个和1个监测点，设空气污染指数为50～100的4个监测点分别记为a，b，c，d；空气污染指数为150～200的1个监测点记为E，从中任取2个的基本事件分别为（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（b，c），（b，d），（b，E），（c，d），（c，E），（d，E）共10种，其中事件A“两个都为良”包含的基本事件为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种，所以事件A“两个都为良”发生的概率是． 20. （本小题满分14分）已知函数 （1）若函数在处的切线垂直轴,求的值； （2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围； （3）讨论函数的单调性. 参考答案： （1）因为，故， ……1分 函数在处的切线垂直轴，所以      ……3分 （2）函数在为增函数，所以当时，恒成立，分离参数得：，从而有：.                                  ……7分 （3）              ……10分 令，因为函数的定义域为，所以 （1）当，即时，函数在上递减，在上递增；  ……11分 （2）当，即时，函数在上递增， 在上递减，在上递增                                  ……12分 （3）当，即时，函数在上递增；                 ……13分 （4）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增.                                                                  ……14分 21.  已知函数f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝． (1)求a、b、c的值； (2)试讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性； (3)试求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值． 参考答案： (1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0. 即－ax－＋c＋ax＋＋c＝0，∴c＝0. 由f(1)＝，f(2)＝， 得a＋b＝，2a＋＝，解得a＝2，b＝． ∴a＝2，b＝，c＝0. (2)由(1)知，f(x)＝2x＋， ∴f′(x)＝2－＝． 当x∈(0，)时，f′(x)<0. ∴函数f(x)在(0，)上为减函数． 当x>时，f′(x)>0， ∴函数f(x)在(，＋∞)上为增函数． (3)由(2)知x＝是函数的最小值点， 即函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f()＝2. 22. 已知椭圆经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量