河北省邯郸市梁二庄中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

河北省邯郸市梁二庄中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知正方形的边长为,为的中点,则    （     ） A.               B.              C.            D. 参考答案： C 2. 同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x=对称”的一个函数是（　　） 　 A． y=sin（+） B． y=cos（x+） C． y=cos（2x﹣） D． y=sin（2x﹣） 参考答案： D 考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．  专题： 三角函数的求值． 分析： 利用周长公式及对称性判断即可得到结果． 解答： 解：A、y=sin（+）， ∵ω=，∴T=4π，不合题意； B、y=cos（x+）， ∵ω=1，∴T=2π，不合题意； C、y=cos（2x﹣）， ∵ω=2，∴T=π， 令2x﹣=0，即x=，不合题意； D、y=sin（2x﹣）， ∵ω=2，∴T=π， 令2x﹣=，即x=，即图象关于直线x=对称，符合题意， 故选：D． 点评： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的对称性，熟练掌握周期公式是解本题的关键． 3. 设是直线，a，β是两个不同的平面 A. 若∥a，∥β，则a∥β         B. 若∥a，⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β         D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β 参考答案： B 根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。 4. 已知定义在R上的函数，则命题p:“”是命题q:“不是偶函数”的(     ) A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件     C. 充要条件          D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 5. A．.2 B．-2 C．6 D．-6 参考答案： B 略 6. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A．      B．      C．       D．      参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12 【答案解析】D  解析：由知，所以在上是增函数，所以，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以正确.故选 【思路点拨】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论． 7. ＝2,则实数a等于 A、－1      B、 1     C、－      D、 参考答案： 答案：B 8. 要得到函数的图象，只要把函数的图象(　　) A．向右平移个单位        B．向左平移个单位 C．向右平移个单位        D．向左平移个单位 参考答案： D 9. 已知集合A={1，2， }，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（　　） A．{} B．{2} C．{1} D．? 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【专题】集合． 【分析】将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的交集即可． 【解答】解：当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=， ∴B={1，4， }， ∴A∩B={1}． 故选：C． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 10. 设随机变量服从正态分布，若，则= (   )     A．       B．   C．       D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数. ①当时，函数g(x)有          个零点； ②若函数g(x)有三个零点，则k的取值范围是          ． 参考答案： 1， ①当时， 时， ,得，即 ； 时，，无解， 综上：当时，函数有1个零点； ② 当 时， ，得 ， 时，有两个根； 当 时，，得 时有一个根， 综上： 时函数有三个零点.   12. 已知点A(–3,–2)和圆C：(x–4)2+(y–8)2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x–1后反射(入射点为B)，反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是   ▲   ． 参考答案： 10；  13. 若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是            . 参考答案： 因为的图象是由向下平移一个单位得到，当时，作出函数的图象如图，此时，如图象只有一个交点，不成立。 当时，，要使两个函数的图象有两个公共点，则有，即，所以的取值范围是。 14. 若实数满足，则的值域是_______________. 参考答案： 略 15. 对任意两个实数，定义若， ，则的最小值为　　． 参考答案： 因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。   16. 已知向量，满足，，向量在向量方向上的投影为1，则______. 参考答案： 【分析】 由投影求得，再由模长公式求解即可 【详解】因为向量在向量方向上投影为1 则 ∴|| ＝2． 故答案为2 【点睛】本题考查平面向量的数量积及几何意义，考查模长公式，，注意平面向量的数量积公式的灵活运用． 17. 已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数只有4个零点，则取值范围是        ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）     如图，已知四棱锥S-ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，P是AD的中点，Q是SB的中点。 (I)求证：PQ∥平面SCD; (II)求二面角B-PC-Q的余弦值。 参考答案： 19. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上． （1）若，求的值； （2）若，证明：． 参考答案： 证明：（I）四点共圆，， 又， ∽， ，， ．                         ......5分 （II）， ， 又， ∽，，   又四点共圆，， ，  .                    略 20. 1）（本小题6分）在平面直角坐标系中，已知某点，直线.求证：点P到直线的距离 2)（本小题7分）已知抛物线C: 的焦点为F，点P（2,0），O为坐标原点，过P的直线与抛物线C相交于A,B两点，若向量在向量上的投影为n,且，求直线的方程。 参考答案： .1）见教材 2）法一：时，与已知矛盾 设直线方程： 。代入抛物线方程可得： ， ，         法二：设直线l的倾斜角为 ，设直线方程： ， ， ， ，          21. 在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，且，求和的值. 参考答案： （1）由正弦定理得， 则， 所以 所以 由此可得， 又因为在中，所以； （2）由得， 由（1）知，所以， 又由余弦定理， 于是有，解得， 所以. 22. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为；（2）. 【分析】 （1）求出函数的定义域与导数，然后在定义域内分别解不等式和，可得出函数的单调递减区间和单调递增区间； （2）由，利用参变量分离法得出在恒成立，令，将问题转化为，然后利用导数求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为，. 令，得；令，得. 因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）不等式恒成立，等价于在恒成立， 令，，则， 令，，. 所以在单调递增，而， 所以时，，即，单调递减； 时，，即，单调递增. 所以在处取得最小值， 所以，即实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关键在于利用参变量分离转化为函数的最值来求解，避免了分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.