河北省秦皇岛市蛤泊乡孟柳河中学高一数学理下学期期末试卷含解析

河北省秦皇岛市蛤泊乡孟柳河中学高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设变量满足约束条件，则的最大值为          （     ） A． 2           B．               C．         　　D．4 参考答案： B 略 2. 下列给出函数f（x）与g（x）的各组中，是同一个关于x的函数的是(     ) A．f（x）=x﹣1，g（x）= B．f（x）=2x﹣1，g（x）=2x+1 C．f（x）=x2，g（x）= D．f（x）=1，g（x）=x0 参考答案： C 【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同即可． 【解答】解：A．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数． B．函数f（x）和g（x）的定义域为R，两个函数的定义域相同，但对应法则不相同，不是同一函数． C．函数g（x）=x2，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数． D．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数． 故选C． 【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同． 3. 在全校学科大阅读活动中，《写给全人类的数学魔法书》40页“宝库笔记”中详细阐述了笔记的记录方法，下列选项中你认为没有必要的是（　　） A．写下对定理或公式的验证方法 B．把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来 C．用自己的语言来表述，不能照抄书上的 D．把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上 参考答案： D 【考点】V3：中国古代数学瑰宝． 【分析】利用笔记的记录方法直接求解． 【解答】解：笔记的记录方法要写下对定理和公式的验证方法，故A正确； 要把解题方法当中涉及到的想法和思路都记下来，故B正确； 用自己的语言来表述，不能照抄书上的，故B正确； 没有必要把所有的习题都记在这本“宝库笔记”上，故D错误． 故选：D． 4. 是            （    ） A、奇函数   B、偶函数    C非奇函数非偶函数      D、奇且偶函数 参考答案： B 5. 给出下列函数：① ；② ；③  ；④ 其中同时满足下列两个条件的函数的个数是条件一：是定义在R上的偶函数； 条件二：对任意，有.    A.  0 B.  1 C.  2 D.  3 参考答案： B 略 6. 若四边形满足： ，且，则四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形          B．正方形        C．等腰梯形      D．菱形 参考答案： D 7. 设a=22.5，b=log2.5，c=（）2.5，则a，b，c之间的大小关系是（　　） A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞a＞c 参考答案： C 【考点】对数值大小的比较． 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a=22.5＞1，b=log2.5＜0，c=（）2.5∈（0，1）， ∴a＞c＞b， 故选：C． 8. （理）已知函数y=的图象与函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0），如果x0≥2，那么a的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．[8，+∞） D．[16，+∞） 参考答案： D 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】由已知中函数的图象与函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0），如果x0≥2，我们根据指数不等式的性质，求出y0的范围，进而结合点P（x0，y0）也在函数y=logax的图象上，再由对数函数的性质，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】解：由已知中函数的图象与函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象交于点P（x0，y0）， 由指数函数的性质，若x0≥2 则0＜y0≤ 即0＜logax0≤ 由于x0≥2 故a＞1 且≥x0≥2 故a≥16 即a的取值范围为[16，+∞） 故选D 9. 下列四类函数中，有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是（ ） A．幂函数        B．对数函数         C．余弦函数        D．指数函数 参考答案： D 10. 已知g（x）=1-2x,f[g（x）]=,则f（）等于 （    ） A．1 B．3 C．15 D．30 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数在实数R上有三个不同的零点，a为常数，则实数a=__________． 参考答案：   12. 边长为2的两个等边△ABD，△CBD所在的平面互相垂直，则四面体ABCD的体积是　 　． 参考答案： 1 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】取DB中点O，连结AO，CO，易得AO⊥面BCD，再利用体积公式即可求解． 【解答】解：如图，取DB中点O，连结AO，CO， ∵△ABD，△CBD边长为2的两个等边△‘ ∴AO⊥BD，CO⊥BD，又∵面ABD⊥面BDC； ∴AO⊥面BCD，AO=， 四面体ABCD的体积v=， 故答案为：1． 13. 函数是定义在R上的奇函数，并且当时，，那么，=           . 参考答案：   -2 略 14. 函数y=x－2+的最小值是________;最大值是________. 参考答案： 15. 设为实数，若，则的最大值是________. 参考答案：      略 16. 已知函数若存在实数a，b，c，d，满足，其中，则 （1）ab=           ；     (2)abcd的取值范围为                 ． 参考答案： (1)1；(2)(21,24) 17. 已知函数的定义域是，则的值域是                 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）在平面直角坐标系xoy中，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且满足?=﹣1 （1）求点P，Q的坐标； （2）求cos（α﹣2β）的值． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值；平面向量及应用． 分析： （1）利用向量的数量积和倍角公式即可求出； （2）利用倍角公式、三角函数的定义及两角差的余弦公式即可求出． 解答： （1）∵点P（1，2cos2θ），点Q（sin2θ，﹣1）， ∴=（1，2cos2θ），=（sin2θ，﹣1）， ∵?=﹣1 ∴sin2θ﹣2cos2θ=﹣1． ∴（1﹣cos2θ）﹣（1+cos2θ）=﹣1， 解得cos2θ=， ∵2cos2θ=1+cos2θ=， ∴P（1，）， ∵sin2θ=（1﹣cos2θ）=， ∴Q（，﹣1） （2）∵|OP|=，|0Q|=， ∴sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=， ∴sin2β=2sinβcosβ=﹣，cos2β=2cos2β﹣1=﹣ ∴cos（α﹣2β）=cosαcos2β+sinαsin2β==﹣ 点评： 本题考查了向量的数量积、三角函数的定义及两角差的余弦公式、倍角公式，属于中档题 19. 若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 见解析 【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式； （2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0，即可得m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可知，f（0）=1，解得，c=1， 由f（x+1）﹣f（x）=2x．可知，[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣（ax2+bx+1）=2x， 化简得，2ax+a+b=2x， ∴， ∴a=1，b=﹣1． ∴f（x）=x2﹣x+1； （2）不等式f（x）＞2x+m，可化简为x2﹣x+1＞2x+m， 即x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立， 设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，则其对称轴为， ∴g（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数． 因此只需g（x）的最小值大于零即可， g（x）min=g（1）， ∴g（1）＞0， 即1﹣3+1﹣m＞0，解得，m＜﹣1， ∴实数m的取值范围是m＜﹣1． 【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用．属于中档题． 20. （本题12分）己知以点P为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且． (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 参考答案： 21. （1）lg25+lg2?lg50； （2）（log43+log83）（log32+log92）． 参考答案： 考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）利用lg5+lg2=1即可得出； （2）利用对数的换底公式和对数的运算性质即可得出． 解答： 解：（1）原式=lg25+lg2?（lg5+1）=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1； （2）原式===． 点评： 本题考查了lg5+lg2=1、对数的换底公式和对数的运算性质，属于基础题． 22. 已知函数 （1）当a＜0时，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性； （2）当a=﹣4时，对任意的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围； （3）当，，y=|F（x）|在（0，1）上单调递减，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出函数的导数，通过a的符号，判断函数的符号，求出函数的单调性即可； （2）问题转化为f（x）max≤g（x）min，求出f（x）的最大值，根据二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可； （3）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）a＜0时，f′（x）=1﹣＞0， 故f（x）在（0，+∞）递增； （2）若对任意的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）， 则f（x）max≤g（x）min， a=﹣4时，f（x）=x﹣，f′（x）=1+＞0， f（x）在[1，2]递增， ∴f（x）max=f（2）=0， 而g（x）=x2﹣2mx+2，x∈[1，2]， 对称轴x=m， 由题意得： 或或， 解得：m≤1或1＜m≤或m∈?， 故m≤； （3）a=0时，显然不成立， a＞0时，f（x）＞0在（0，）恒成立且在（0，）上递减， ∴，解得：a≥， a＜0时，|f（x）|要在（0，）递减， 则，解得：a≤﹣， 综上，a