河北省衡水市故城镇中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试题含解析

河北省衡水市故城镇中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 与函数y=x相等的函数是（　　） A．y=（）2 B．y= C．y= D．y= 参考答案： B 【考点】判断两个函数是否为同一函数．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】本题可以通过函数的定义域、解析式、值域是否相同来判断函数是否为同一个函数，得到本题结论． 【解答】解：选项A中，x≥0，与函数y=x的定义域R不符； 选项B中，，符合题意； 选项C中，y≥0，与函数y=x的值域R不符； 选项D中，x≠0，与函数y=x的定义域R不符； 故选B． 【点评】本题考查了函数的定义，本题难度不大，属于基础题． 2. 函数且的图像恒过定点（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C 本题主要考查对数函数的性质． 对数函数且恒过定点． 那么恒过定点， 恒过定点． 故本题正确答案为． 3. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（　　） x 2 3 4 5 6 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A．y=log2x B．y=2x C． D．y=2.61cosx 参考答案： A 【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异． 【分析】根据题目中各函数的基本特征，对表中数据进行分析、判断即可． 【解答】解：对于A，函数y=log2x，是对数函数，增长速度缓慢，且在x=2时y=1，x=4时y=2，基本符合要求； 对于B，函数y=2x是指数函数，增长速度很快，且在x=2时y=4，x=4时y=16，代入值偏差较大，不符合要求； 对于C，函数y=（x2﹣1）是二次函数，且当x=2时y=1.5，x=4时y=7.5，代入值偏差较大，不符合要求； 对于D，函数y=2.61cosx是周期函数，且在[2，3]内是减函数，x=3时y＜0，x=4时y＜0，不符合要求． 故选：A． 4. 函数的图像为C，则以下判断中，正确的是（    ）    A．过点的C唯一                             B．过点的C唯一  C．在长度为的闭区间上恰有一个最高点和一个最低点 D．图像C关于原点对称 参考答案： A 5. 若，是第三象限的角，则等于（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先由同角三角函数的关系求出的正弦值，再利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可. 【详解】因为，是第三象限的角， 所以， ，故选A. 6. 焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】设所求的双曲线方程是，由 焦点（0，6）在y 轴上，知 k＜0，故双曲线方程是  ， 据 c2=36  求出 k值，即得所求的双曲线方程． 【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，∵焦点（0，6）在y 轴上，∴k＜0， 所求的双曲线方程是  ，由﹣k+（﹣2k）=c2=36，∴k=﹣12， 故所求的双曲线方程是   ， 故选 B． 【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用． 7. ，则的大小关系是（   ） A．           B．            C．               D． 参考答案： A 试题分析：因为指数函数的定义域为,值域为,故,由底数,故函数在上单调递减,故,由且底数,故,故,综上可得:,故选A. 考点：指数函数性质的应用. 8. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为(　　) A．        B．      C．        D．  参考答案： D 略 9. 若函数与在区间上都是减函数，则实数的取值范围是（   ） A．∪    B．∪      C．      D． 参考答案： D 10. 对于函数，下列选项中正确的是（  ） A.在上是递增的        B.的图像关于原点对称  C. 的最小正周期为         D. 的最大值为2 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则f（）=　　． 参考答案： 1 【考点】函数的值． 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】由已知条件利用函数的性质和有理数指数幂性质求解． 【解答】解：∵， ∴f（）=f（2﹣1）=+3=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 12. 对于正项数列，定义为的“蕙兰”值，现知数列的“蕙兰”值为，则数列的通项公式为=            ． 参考答案： 略 13. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的表面积为        。 参考答案： 3π   略 14. 若关于x的不等式的解集为(0,n)，则实数n的值为          ． 参考答案： 2 ∵关于x的不等式的解集为， ∴是方程的解， ∴， ∴原不等式为，即， 解得， 故不等式的解集为， ∴．   15. 设，则的大小关系为    ▲    . 参考答案： 略 16. 在△ABC中,已知30°,则B等于__________． 参考答案： 15°或105° 【分析】 根据三角形正弦定理得到角，再由三角形内角和关系得到结果. 【详解】根据三角形的正弦定理得到， 故得到角，当角时，有三角形内角和为，得到， 当角时，角 故答案为 【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 17. 方程sinx﹣cosx=0（x∈[0，2π]）的所有解之和为　_________　． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东60°，B点北偏西45°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西75°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？     参考答案： 解：在△ABD中，由正弦定理：  在△CBD中，由余弦定理： （海里） ∴（小时） 答：该救援船到达D点需要的时间为小时 19. 已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，集合B={x|x2﹣ax+a≤0}． （1）求m﹣n的值； （2）若A∪B=A，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合的包含关系判断及应用；一元二次不等式的解法． 【分析】（1）利用韦达定理，求出m，n，即可求m﹣n的值； （2）若A∪B=A，B?A，分类讨论求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]， ∴，∴m=﹣4，n=3， ∴m﹣n=﹣7； （2）A∪B=A，∴B?A． ①B=?，△=a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4； ②B≠?，设f（x）=x2﹣ax+a，则，∴4≤a≤， 综上所述，0＜a≤． 20. 设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程． 参考答案： 【考点】圆的标准方程． 【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆． 【分析】分圆心C在第一象限和第三象限两种情况，当圆心C1在第一象限时，过C1分别作出与x轴和y轴的垂线，根据角平分线的性质得到四边形OBCD为正方形，连接C1A，由题意可知圆C与y轴截得的弦长为4，根据垂径定理即可求出正方形的边长即可得到圆心C的坐标，在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AC的长即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的方程；当圆心C在第三象限时，同理可得圆C的方程． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示： 当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1， 由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形， ∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2）， 在直角三角形ABC1中，根据勾股定理得：AC1=2， 则圆C1方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8； 当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2， 由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′， =OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2）， 在直角三角形A′B′C2中，根据勾股定理得：A′C2=2， 则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8， ∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8． 【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题． 21. 设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π．且f（）=． （1）求ω和φ的值； （2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象（3）若f（x）＞，求x的取值范围． 参考答案： 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H7：余弦函数的图象；HA：余弦函数的单调性． 【解答】解：（I）周期，∴ω=2， ∵， 且，∴． （II）知，则列表如下： 2x﹣ ﹣ 0 π x 0 π π f（x） 1 0 ﹣1 0 图象如图： （III）∵， ∴ 解得， ∴x的范围是． 22. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD. (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 参考答案： (1)连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点， 故在△CPA中，EF∥PA， 又∵PA?平面PAD，EF?平面PAD， ∴EF∥平面PAD. (2)∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥PA. 又PA＝PD＝AD， ∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD. 又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD. 又∵PA?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PCD.