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河北省衡水市大营中学2022年高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设a,b两条直线,,表示两个平面,如果,,那么“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
参考答案:
A
2. 已知,则的值是 ( )
A.2 B.-2 C. D.-
参考答案:
C
3. 已知,为虚数单位,且,则的值为 ( )
A. 2 B. C. D.
参考答案:
D
由得,所以,选D.
4. 的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )
(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40
参考答案:
D
5. 设集合A={1,2,3,4},N,则A∩B=
A.{1,2,3,4} B.{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
C.{1,2,3} D.{1,2}
参考答案:
C
,故,选C.
6. 根据表格中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是
( )
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
A(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
参考答案:
C
略
7. 在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了四个不同的模型,它们的相关指数R2如下,其中拟合效果最好的为( )
A.模型①的相关指数为0.976 B.模型②的相关指数为0.776
C.模型③的相关指数为0.076 D.模型④的相关指数为0.351
参考答案:
A
根据相关指数R2的值越大,模型拟合的效果越好, 比较A、B、C、D选项,A的相关指数最大,∴模型①拟合的效果最好.
8. 若的展开式中第四项为常数项,则n =
A.4 B.5
C.6 D.7
参考答案:
B
略
9. 已知数列中,,且数列是等差数列,则等于
A. B. C.5 D.
参考答案:
B
略
10. 关于直线m、n与平面α、β,有下列四个命题:
①m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;
②m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;
③m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;
④m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】利用线面关系定理,对四个命题分别分析,找出正确命题.
【解答】解:①根据面面平行的性质定理知,m和n是第三个平面与此平面的交线时,有m∥n,m,n也可能是异面;故①错误;
②∵α⊥β,m⊥α,∴在β存在与m平行的直线,再由n⊥β得m⊥n,故②正确;
③由m⊥α,α∥β得m⊥β,再由n∥β得m⊥n,故③正确;
④当m?β时,由n⊥β得到m⊥n,故④错.
综上正确命题是②③,共有2个;
故选B.
【点评】本题考查了空间的线面位置关系,解决此类问题,注意定理中的关键条件以及特殊情况,主要根据垂直和平行定理进行判断,考查了空间想象能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知平面向量,的夹角为,且,,若,则_____.
参考答案:
3
∵,
∴,解得.
12. 在中,若,,,则 .
参考答案:
由,得,根据正弦定理得,即,解得.
13. 已知实数、满足条件则的最大值为 .
参考答案:
答案:8
解析:画出可行域知在两直线交点(2,3)处取得最大值8
14. 设样本数据x1,x2,…,x2017的方差是4,若yi=2xi﹣1(i=1,2,…,2017),则y1,y2,…y2017的方差为 .
参考答案:
16
【考点】极差、方差与标准差.
【分析】根据题意,设数据x1,x2,…,x2017的平均数为,由方差公式可得= [(x1﹣)2+(x2﹣)2+(x3﹣)2+…+(x2017﹣)2]=4,进而对于数据yi=2xi﹣1,可以求出其平均数,进而由方差公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意,设样本数据x1,x2,…,x2017的平均数为,
又由其方差为4,则有= [(x1﹣)2+(x2﹣)2+(x3﹣)2+…+(x2017﹣)2]=4,
对于数据yi=2xi﹣1(i=1,2,…,2017),
其平均数=(y1+y2+…+y2017)=[(2x1﹣1)+(2x2﹣1)+…+(2x2017﹣1)]=2﹣1,
其方差= [(y1﹣)2+(y2﹣)2+(y3﹣)2+…+(y2017﹣)2]
= [(x1﹣)2+(x2﹣)2+(x3﹣)2+…+(x2017﹣)2]=16,
故答案为:16.
【点评】本题考查数据的方差计算,关键是掌握方差的计算公式.
15. 已知函数的部分图象如图所示,则的解析式是
参考答案:
16. 已知,,,且与垂直,则实数的值为 .
参考答案:
17. 在中,若,AB=5,BC=7,则的面积S=__________。
参考答案:
答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数。
⑴求的值;
⑵求的最大值和最小值,并求当取何值时,取得最大值。
参考答案:
解:⑴
⑵
的最大值是;最小值是。
且当时,取得最大值。
略
19. 选修4-5:不等式选讲
已知函数
(I)解不等式.
(Ⅱ)若关于的不等式的解集为,求实数的取值范围.
参考答案:
(I)不等式可化为.
当时,解得即;
当时,解得即:
当时,解得即;
综上所述:不等式的解集为或.
(Ⅱ)由不等式可得
,
,即
解得或
故实数的取值范围是或.
20. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为.以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线,为实数.
(1)求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)若点在曲线上,从点向作切线,切线长的最小值为,求实数的值.
参考答案:
(1),;(2)
(2)切线长的最小值为即圆心到直线的距离为3
解得
21. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)若是函数的极值点,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在上为单调增函数,求的取值范围;
(3)设为正实数,且,求证:.
参考答案:
解: (Ⅰ)
由题意知,代入得,经检验,符合题意。
从而切线斜率,切点为,Ks5u
切线方程为
(Ⅱ)
因为上为单调增函数,所以上恒成立.
所以的取值范围是
(Ⅲ)要证,只需证,
即证只需证
由(Ⅱ)知上是单调增函数,又,
所以,即成立
所以 。
略
22. 已知如图,△ABC是边长为4的等边三角形,MC⊥平面ABC,D、E分别是线段AC、AB的中点,将△ADE沿DE翻折至△NDE,平面NDE⊥平面ABC.
(Ⅰ)求证:平面BCM∥平面EDN;
(Ⅱ)求三棱锥M﹣EDN的体积V.
参考答案:
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LU:平面与平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)推导出MC∥平面EDN,从而BC∥ED,进而BC∥平面NDE,由此能证明平面BCM∥平面EDN.
(Ⅱ) 设BC中点为G,连接AG交DE于F.则AG⊥ED,推导出GF⊥平面NDE,由此能求出三棱锥M﹣NDE的体积.
【解答】证明:(Ⅰ)∵平面EDN⊥平面ABC,MC⊥平面ABC,MC?平面EDN,
∴MC∥平面EDN.…(2分)
由已知,BC∥ED,∵BC?平面NDE,ED?平面NDE,
∴BC∥平面NDE.…(4分)
∵BC、MC是平面BCM内两相交直线,
∴平面BCM∥平面EDN.…(6分)
解:(Ⅱ) 设BC中点为G,连接AG交DE于F.则AG⊥ED.…(7分)
∵平面EDN⊥平面ABC,平面EDN∩平面ABC=ED,
AG?平面ABC,
∴GF⊥平面NDE.…(9分)
由已知,△NDE的面积S△NDE=.GF=NF=,…(11分)
∴三棱锥M﹣NDE的体积V=GF?S△NDE=××=1.…(12分)
【点评】本题考查面面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想,是中档题.
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