河北省秦皇岛市第四中学2023年高一数学理月考试题含解析

河北省秦皇岛市第四中学2023年高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则 （    ） 、           、3                、 、 参考答案： D 2. 在等比数列中，已知，则等于(     ) A．16               B．6                C．12               D．4 参考答案： D 略 3. 设，则 （　　） A． B． C． D． 参考答案： D 4. 若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】作出棱锥的高与斜高，得出侧面与底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面边长，代入体积公式计算． 【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O为正方形ABCD的中心． 连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°. 设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=， ∴SE==． 在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2， ∴3=，解得a=2． ∴SO=1， ∴棱锥的体积V==． 故选B． 5. 如图圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　) A. B. C. D. 参考答案： C 试题分析：如图所示，作，垂足为，当时，在中，．在中，；当时，在中，，在中，，所以当时，的图象大致为C． 考点：三角函数模型的应用，函数的图象． 【名师点睛】本题考查三角函数模型的应用，考查学生对图形的分析与认识能力．要作出函数的图象，一般要求出函数的解析式，本题中要作出点到直线的垂线段，根据的取值范围的不同，垂足的位置不同，在时，垂足在线段上，当时，垂足在射线的反向延长线上．因此在解题时一定要注意分类讨论思想的应用． 6. 已知函数f（x）=是增函数，则a的取值范围是（　　） A．（1，2） B．（1，3） C．（2，3） D．[2，3） 参考答案： D 【考点】函数单调性的性质． 【分析】根据指数函数以及一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：若函数f（x）=是增函数， 则，解得：2≤a＜3， 故选：D． 7. 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（   ） A．a≥3 B．a≤-3 C．a≤5 D．a≥ -3 参考答案： B 略 8. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为                                                                      （　  　） A．直角三角形                      B．锐角三角形 C．钝角三角形                     D．不确定 参考答案： A 略 9. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状为 A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 参考答案： C 【分析】 根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出△ABC的形状为直角三角形． 【详解】由题意知， 由正弦定理得 又 展开得， 又角A，B，C是三角形的内角 又 综上所述，△ABC的形状为直角三角形，故答案选C． 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用． 10. 已知集合，，定义集合，则中元素个数为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C 的取值为，，，的取值为，，，，， 的不同取值为，，，，，， 同理的不同取值为，，，，，， 当时，只能等于零，此时，多出个， 同理时，只能等于零，此时，多出个， 一共多出个， ∴中元素个数． 故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. “希望杯”全国数学邀请赛从1990年开始举办，当年参赛人数约10万人，到1996年参赛人数已超过60万人，如果每年的参赛人数按相同的增长率增加，那么估计1997年参赛人数至少          万人。（保留小数点后1位，≈ 1.308，≈ 1.348，≈ 1.383） 参考答案： 80.8   12. 已知，，，则          ． 参考答案： 13. 已知函数f(x)对任意实数a，b，都有成立，若f(2)=4，f(3)=3，则f(36)的值为. 参考答案： 14 14. 如果函数f（x）对其定义域内的任意两个实数x1，x2都满足不等式f（）＜，则称函数f（x）在定义域上具有性质M，给出下列函数： ①y=；②y=x2；③y=2x；④y=log2x．其中具有性质M的是           （填上所有正确答案的序号） 参考答案： ②③ 【考点】函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由不等式f（）＜，可知：函数为下凸函数，画出图象即可判断出． 【解答】解：函数f（x）对其定义域内的任意两个实数x1，x2都满足不等式f（）＜，则称函数f（x）在定义域上具有性质M，（为下凸函数）． 由函数的图象可知：②y=x2；③y=2x．其中具有性质M． 故答案为：②③． 【点评】本题考查了下凸函数的性质，考查了数形结合思想方法与推理能力，属于中档题． 15. 已知函数如果f（x0）=16，那么实数x0的值是　　． 参考答案： ﹣2 【考点】函数的值． 【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】对x分类讨论，利用分段函数的性质即可得出． 【解答】解：当x＜3时，﹣8x0=16，解得x0=﹣2，满足条件． 当x≥3时，=16，解得x0=2，不满足条件． 综上可得：x0=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 16. 已知函数_______________ 参考答案： 17. 已知，则=________________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题12分）某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60)，…，[90，100]，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题．     (l)求成绩在[70: 80)的频率，并补全这个频率分布直方图：     (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）   (3)从成绩在[40，50)和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率． 参考答案： 19. 先化简再计算： ，其中x是一元二次方程的正数根. 参考答案： 20. （18）（本小题满分12分） 求过点A(3,4)与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1相切的直线方程 参考答案： 解:设所求方程为y-4=k(x-3) 即kx-y+4-3k=0 由=1得k= 所以切线方程为4x-3y=0 当过A(3,4)向圆可作两条切线,另一条为x=3 所求切线方程为4x-3y=0或x=3 略 21. 已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π． （Ⅰ）求f（）； （Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象． 参考答案： 解：（1）依题意得，T==π，解得ω=2，所以f（x）=sin（2x﹣）， 所以 f（π）=sin（2×﹣）=sin（π+）=﹣sin=﹣， （2）画出函数在区间上的图象如图所示： 考点：正弦函数的图象． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）根据T=，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可； （2）利用五点作图法作图即可． 解答： 解：（1）依题意得，T==π，解得ω=2，所以f（x）=sin（2x﹣）， 所以 f（π）=sin（2×﹣）=sin（π+）=﹣sin=﹣， （2）画出函数在区间上的图象如图所示： 点评：本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题． 22. 如图，在平面四边形ABCD中，，，AB=1. （1）若，求△ABC的面积； （2）若，，求CD的长度. 参考答案： 解：（1）因为，所以， 即， 又因为，，所以，则， 所以. （2）在中，由余弦定理得： ， 解得：， 在中，由正弦定理得： ，即， 所以， 在中，由余弦定理得： ，即 .