河北省衡水市故城县建国中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析

河北省衡水市故城县建国中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知直线上存在点满足则实数的取值范围为（  ） A．（-，）   B．[-，]     C（-，）        D．[-，]  参考答案： A 【知识点】简单线性规划E5    解析：作出不等式组对应的平面区域如图： 直线mx+y+m﹣1=0等价为y=﹣m（x+1）+1，则直线过定点D（﹣1，1）， 要使直线mx+y+m﹣1=0上存在点（x，y）满足， 则满足A在直线mx+y+m﹣1=0的上方，且B在直线mx+y+m﹣1=0的下方， 由，解得，即A（1，2）， 由，解得，即B（1，﹣1）， 则满足，即，得﹣＜m＜1，故选：A 【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用直线直线mx+y+m﹣1=0与平面区域的关系，建立条件关系确定m的取值范围． 2. 有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A．           B．              C．         D． 参考答案： C 3. 若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且与交点的连线过点，则双曲线的离心率为 A.            B.           C.            D.  参考答案： A 4. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ）        A．                    B．                   C．(                D．  参考答案： B 略 5. 设函数f（x）=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（　　） A． B．1﹣ C． D． 参考答案： B 【考点】CF：几何概型． 【分析】1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，以长度为测度，即可求出概率． 【解答】解：由题意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e， ∵f（x）的值不小于常数e， ∴1≤x≤e， ∴所求概率为=1﹣， 故选B． 【点评】本题考查概率的计算，考查分段函数，确定以长度为测度是关键． 6. 对于直线m，n和平面. 则（1）若   （2）若 （3）若             （4）若.    其中真命题的个数是 A.1          B.2            C.3             D.4 参考答案： A 略 7. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（    ）        A．求数列的前10项和        B．求数列的前10项和        C．求数列的前11项和        D．求数列的前11项和 参考答案： B 略 8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（　　） A．[﹣6，﹣2] B．[﹣5，﹣1] C．[﹣4，5] D．[﹣3，6] 参考答案： D 【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论． 【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]， 若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]， 综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]， 故选：D 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础． 9. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，∠BAC==8，则球的表面积为（　　） A．36π B．64π C．100π D．104π 参考答案： C 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积． 【解答】解：∵AB=AC=3，∠BAC=120°， ∴BC=3， ∴三角形ABC的外接圆直径2r==6， ∴r=3， ∵AA1⊥平面ABC，AA1=8， ∴该三棱柱的外接球的半径R=5， ∴该三棱柱的外接球的表面积为S=4πR2=4π×52=100π． 故选C． 10. 设等差数列的前项和为，点在直线上，则 A．4034      B．2017        C．1008      D．1010 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为. 若要使该总体的方差最小，则的取值分别是            参考答案： 12. 如图，A，B，C是直线上三点，P是直线外一点，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=30°，则=　　． 参考答案： 【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；解三角形；平面向量及应用． 【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有30°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=120°，CD=PD=2x．在△BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x=，即BD=，从而得出PA=且PC=．最后利用数量积的公式加以计算，可得的值． 【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x， ∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA． ∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°， ∵∠BPD=30°，BD=x，∴PD=2BD=2x，CD=PD=2x， △BDC中，∠BDC=∠APC=90°+30°=120°，BC=1， 由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD?CDcos∠BDC=1， 即x2+4x2﹣2x?2xcos120°=1，解之得x=，即BD=． ∴PA=2BD=，PC=4BD=， 可得==××（﹣）=﹣． 故答案为：﹣ 【点评】本题给出三角形的中线与一条边垂直且与另一边成30度角，求向量的数量积．着重考查了向量数量积计算公式、三角形中位线定义及其应用、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题． 13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a=2c，则sinC的最大值为 ______________． 参考答案： 【知识点】余弦定理  C8 解析：由题意可知c不是最大边，再由三角形边长的关系可知，再由余弦定理可知，所以 【思路点拨】由三角形中角的关系可利用余弦定理可求出结果. 14. 已知圆锥的轴截面（过旋转轴的截面）是等边三角形，则沿母线展开所得扇形的圆心角是__________. 参考答案： 略 15. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________. 参考答案： 甲 16. 抛物线上的点到焦点的距离为2，则          ． 参考答案： 2 17. 已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为　　． 参考答案： 【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】由0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到． 【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°， 则﹣45°＜α﹣45°＜45°， 则有cos（α﹣45°）==， 则有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45° ==， 则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=， 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=|x﹣4|﹣t，t∈R，且关于x的不等式f（x+2）≤2的解集为[﹣1，5]． （1）求t值； （2）a，b，c均为正实数，且a+b+c=t，求证：++≥1． 　 参考答案： 解：（1）由f（x+2）≤2得|x﹣4|﹣t≤2， ∴当t+2≥0时，解得﹣t≤x≤t+4， 又∵不等式f（x+2）≤2的解集为[﹣1，5]， ∴﹣t=﹣1且t+4=5，∴t=1． （2）∵a，b，c均为正实数，且a+b+c=1， ∴+++（a+b+c）=（）+（+c）+（+a）≥2+2+2=2（a+b+c）=2 ∴++≥1． 略 19. 如图所示，四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AP的中点，且AD⊥CE. （Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD； （Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B - CE - P的余弦值. 参考答案： 解：(Ⅰ)取的中点，连， ，为等边三角形， ，又 ， ，又 ，又 PD⊥平面ABCD，又PD平面PAD 平面PAD⊥平面ABCD.………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ) 知，，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设菱形的边长为2，则， 因为直线与底面成角，即 …………………………………6分 设为平面的一个法向量，则 ，令，则 ………………………………………………8分 设为平面的一条法向量，则 ，令，则   ……………………………………10分 ，由题可知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为.………………………………………12分 20. 如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点的距离为．不过原点O的直线与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． （1）求椭圆C的方程； （2）求ABP的面积取最大时直线l的方程．   参考答案： ：(1)由题：  ①； 左焦点到点的距离为：  ②． 由①②可解得：． ∴所求椭圆C的方程为：．—     ——————————————4分 (2)易得直线OP的方程：，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)． 其中y0＝x0．∵A，B在椭圆上， ∴．———6分 设直线AB的方程为(m≠0)，代入椭圆：， 整理得：．  ————————————7分 显然．———————————8分 ∴﹣且m≠0．由上又有：，． ∴AB＝||＝＝．     ———————————————————10分∵点到直线l的距离表示为：． ∴SABP＝＝，———12分 令， 则， ﹣且m≠0，，令则， 解得，（）， 当时，递增， 当时，递减， 所以，当且仅当时，ABP的面积取最大， ———————————15分 此时，直线l的方程为．   —————————16分 21. （本题满分12分） 已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线、的斜率分别为、，证明为定值； （Ⅲ）设椭圆方程，、为长轴两个端点， 为椭圆上异于、的点， 、分别为直线、的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得（