河北省衡水市孙温城中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列给出的几个关系中：① ② ③
④，正确的有（ ）个
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案：
C
2. 某船从A处向偏北30°方向航行千米后到达B处，然后朝西偏南60°的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A. 千米 B. 千米 C. 3千米 D. 6千米
参考答案：
B
【分析】
通过余弦定理可得答案.
【详解】设处与处之间的距离为千米，由余弦定理可得，则.
【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.
3. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
参考答案：
C
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．
【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，
则V球=π×（）3=．
故选C．
【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．
4. 已知直线过点，且在轴截距是在轴截距的倍，则直线的方程为（ ）
A. B.
C.或 D.或
参考答案：
C
略
5. 若不等式对任意的上恒成立，则的取值范围是
参考答案：
D
6. 集合｛0,1｝的子集有 （ ）个
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
参考答案：
D
7. 若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，其中m＜0，则m+3n的最大值等于（ ）
A. 2 B. 2 C. ﹣2 D. ﹣2
参考答案：
C
【分析】
根据题意可得出，再根据可得，将添上两个负号运用基本不等式，即可求解．
【详解】由题意，可得，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8. 已知数列{an}的前n项和，则的值为( )
A. 80 B. 40 C. 20 D. 10
参考答案：
C
试题分析：，．故选C．
9. （4分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）
A． a＜b＜c B． c＜b＜a C． c＜a＜b D． b＜a＜c
参考答案：
A
考点： 对数值大小的比较；指数函数单调性的应用．
分析： 易知a＜0 0＜b＜1 c＞1 故 a＜b＜c
解答： 解析：∵由指、对函数的性质可知：，，
∴有a＜b＜c
故选A．
点评： 本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识．
10. 设函数，则的表达式是
A． B． C． D．
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是________．
参考答案：
12. 函数f(x)＝lg(x－1)的定义域为________．
参考答案：
(1，＋∞)
13. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
参考答案：
考点：分层抽样．
14. 如图，在矩形中，，，为边的中点．将沿翻折，得到四棱锥．设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题：
①总有平面；
②三棱锥体积的最大值为；
③存在某个位置，使与所成的角为．
其中正确的命题是____．（写出所有正确命题的序号）
参考答案：
①②
取的中点为，连结，，可得，，
可得平面平面，所以平面，所以①正确；
当平面与底面垂直时，三棱锥体积取得最大值，
最大值为，所以②正确．
存在某个位置，使与所成的角为．因为，所以平面，
可得，即，矛盾，所以③不正确；故答案为①②．
15. 在△ABC中，，，与的夹角为60°，则_____．
参考答案：
【分析】
利用平方运算可将问题转化为数量积和模长的运算，代入求得，开方得到结果.
【详解】
16. 定义在R上的偶函数f(x)是最小正周期为的周期函数，且当时， ，则的值是
参考答案：
17. 幂函数为偶函数，且在上单调递增，则实数
参考答案：
1
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）（1）化简：当＜α＜2π时，；
（2）求值：tan10°+tan50°+tan10°tan50°．
参考答案：
考点： 两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： （1）利用余弦的倍角公式进行化简即可；
（2）直接根据两角和正切公式的变形形式tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）=tanα+tanβ；整理即可得到答案．
解答： （1）∵＜α＜2π，∴＜＜π，
则
=
=
===﹣cos；
（2）∵tan10°+tan50°+tan10°tan50°
=tan（10°+50°）（1﹣tan10°tan50°）+tan10°tan50°
=（1﹣tan10°tan50°）+tan10°tan50°
=﹣tan10°tan50°+tan10°tan50°
=．
点评： 本题主要考查两角和与差的正切公式以及二倍角公式的应用．要求熟练掌握相应的公式．
19. 已知数列满足递推式: (，)，且.
（Ⅰ）求、；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）若，求数列的前项之和.
参考答案：
解（1）. 又.
（2）由知
（3）
分情况讨论:
当n为奇数时,
当n为偶数时,
∴综上所述,可得.
略
20. 已知函数（a＞0且a≠1），且1是函数的零点．
（1）求实数a的值；
（2）求使的实数x的取值范围．
参考答案：
解：（1）∵1是函数的零点，∴，
即，即，解得．
（2）由得，
所以有解得，
所使的实数x的取值集合为．
21. 设函数是实常数, 如果函数在区间(-1, 1)上有
零点, 求a的取值范围.
参考答案：
解析:当a=0时, 则f(x)=4x-3, 此时f(x)的零点为∈(-1, 1), 故a=0满足题设.
当a≠0时, 令△=16+8a(3+a)=0, 即a2+3a+2=0 解得a= -1或-2
(1)当a= -1时, 此时f(x)= -2x2+4x-2= -2(x-1)2, 它有一个零点-1?(-1, 1)
当a= -2时, 此时f(x)= -4x2+4x-1= -4(x-)2, 它有一个零点∈( -1, 1),
故 a= -2满足题设
(2)当f(-1)f(1)= (a-7)( a+1)＜0即 -1＜a＜7时, f(x)有唯一一个零点在(-1, 1)内
(3)当f(x)在(-1, 1)上有两个零点时, 则或
解得a＞7或a＜-2
综上所述, a的取值范围是a≤-2或-1＜a＜7或a＞7
22. （本小题8分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0
15000，解得0
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