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河北省衡水市圈头中学2023年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是奇函数,当时,,则( )
A. 2 B. 1 C. D.
参考答案:
B
2. 已知i为虚数单位,若复数i为实数,则实数的值为( )
A.1 B.0 C. 1 D. 2
参考答案:
A
3. 在正项等比数列中,,则的值是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 设A={},集合B为函数的定义域,则AB=( )
A.(1,2) B.[1,2] C.[ 1,2) D.(1,2 ]
参考答案:
D
5. 设集合M=[1,2],,则M∩N=( )
A. [1,2] B. (-1,3) C. {1} D. {1,2}
参考答案:
D
【分析】
首先化简集合N得,结合交集的定义可求结果。
【详解】集合N可化为=;
所以=。答案选D。
【点睛】解决集合的运算类问题的关键在于弄清集合元素的属性含义,弄清集合中元素所具有的形式,以及有哪些元素,在运算时要结合数轴或Venn图。
6. 设函数定义在实数集上,它的图象关于直线1对称,且当x1时,,则有 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 等差数列满足,,则( )
A.7 B.14 C.21 D.28
参考答案:
B
由题意,,所以,所以,
,故选B。
8. 的值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 为了得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度
参考答案:
A
略
10. 对于函数在定义域内的任意实数及,都有及
成立,则称函数为“函数”.现给出下列四个函数:
;.
其中是“函数”的是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在四面体中,,二面角的大小为150°,则四面体外接球的半径为 .
参考答案:
12. 已知“|x﹣a|<1”是“x2﹣6x<0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围为 .
参考答案:
[1,5]
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】分别求出不等式的等价条件,利用“|x﹣a|<1”是“x2﹣6x<0”的充分不必要条件,确定实数a的取值范围.
【解答】解:由“|x﹣a|<1”得﹣1<x﹣a<1,即a﹣1<x<a+1.
由“x2﹣6x<0”得0<x<6.
要使“|x﹣a|<1”是“x2﹣6x<0”的充分不必要条件,
则,解得,即1≤a≤5,
故实数a的取值范围为[1,5].
故答案为:[1,5].
13. 已知()n展开式的第4项为常数项,则展开式中各项系数的和为__ .
参考答案:
14. 已知,则的值为_______________。
参考答案:
略
15. 已知向量,则____________.
参考答案:
8
【分析】
直接根据向量的坐标运算,求向量的数量积,即可得答案.
【详解】∵,,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题.
16. 在平面直角坐标系xOy中,设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数,使得
=,则的取值范围是 .
参考答案:
17. 右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为,,,,,.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为____.
参考答案:
9
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 为丰富农村业余文化生活,决定在A,B,N三个村子的中间地带建造文化中心.通过测量,发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B和以边AB的中心M为圆心,以MC长为半径的圆弧的中心N处,且AB=8km,BC=km.经协商,文化服务中心拟建在与A,B等距离的O处,并建造三条道路AO,BO,NO与各村通达.若道路建设成本AO,BO段为每公里万元,NO段为每公里a万元,建设总费用为万元.
(1)若三条道路建设的费用相同,求该文化中心离N村的距离;
(2)若建设总费用最少,求该文化中心离N村的距离.
参考答案:
解:(1)不妨设,依题意,,且
由
若三条道路建设的费用相同,则
所以所以。
由二倍角的正切公式得,,即
答:该文化中心离N村的距离为
(2)总费用
即,令
当
所以当有最小值,这时,
答:该文化中心离N村的距离为
19. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接OD交圆O于点M.
(I)求证:DE是圆O的切线;
(II)求证:DE·BC=DM·AC+DM·AB.
参考答案:
解:(I)连结OE.∵点D是BC的中点,点O是AB的中点,
∴,∴,.
∵,∴,
∴.在和中,
∵,,
∴,即.
∵是圆上一点,∴是圆的切线. ……5分
(II)延长交圆于点.∵≌,∴.
∵点是的中点,∴.
∵是圆的切线,∴.∴.
∵,
∴.
∵是圆的切线,是圆的割线,
∴,∴……10分
20. 甲有一只放有a本《周易》,b本《万年历》,c本《吴从纪要》的书箱,且a+b+c =6 (a,b,cN),乙也有一只放有3本《周易》,2本《万年历》,1《吴从纪要》的书箱,两人各自从自己的箱子中任取一本书(由于每本书厚薄、大小相近,每本书被抽取出的可能性一样),规定:当两本书同名时甲将被派出去完成某项任务,否则乙去.
(1) 用a、b、c表示甲去的概率;
(2) 若又规定:当甲取《周易》,《万年历》,《吴从纪要》而去的得分分别为1分、2分、3分,否则得0分,求甲得分的期望的最大值及此时a、b、c的值.
参考答案:
解:(1)P(甲去)=P(两人均取《周易》)+P(两人均取《万年历》)+P(两人均取《吴从纪要》) = + + =
(2) 设甲的得分为随机变量,则
P(=3)= ,P(=2)= ,P(=1)= ,
P(=0)=1一P(甲去)=1一,
∴E=3×+2×+1×+0×(1一)
=
∵ a,b,c∈N,a+b+c=6,∴b=6,此时a=c=0,
∴当b=6时,E= ,此时a=c=0,b=6.
21.
已知函数是导函数,记
(1)求函数的单调增区间;
(2)若在区间上存在两个不相等的正数使
求t的取值范围.
参考答案:
解析:(1)由已知.
令,即, .
的单调增区间为,.
(2)
,此时,即,
整理,得.
故t应满足以下关系:①>0
②;③;④, 联立解之得,故所求的取值范围是[].
22. 如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为的菱形,,AC与BD交于点O,平面平面ABCD,,,.
(1)求证:OE⊥平面ABCD;
(2)若为等边三角形,点Q为AE的中点,求二面角的余弦值.
参考答案:
证明:(1)如图,取中点,连接,,
因为,
所以,
又因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
,分别为,中点,
所以,
因为,,
所以四边形为平行四边形,
所以,
所以平面.
(2)如图,以所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间坐标系,
显然二面角为锐二面角,设该二面角为,
向量,0,是平面的法向量,设平面的法向量,,,
由题意可知,
所以,0,,,,,,0,,,0,
所以,,,,0,,
则,即,
所以,,,
所以.
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