河北省衡水市圈头中学2023年高三数学理联考试卷含解析

河北省衡水市圈头中学2023年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是奇函数，当时，，则（    ） A. 2              B. 1               C.              D. 参考答案： B 2. 已知i为虚数单位，若复数i为实数，则实数的值为（    ） A．1         B．0           C． 1    D． 2 参考答案： Ａ 3. 在正项等比数列中，，则的值是  A.          B.           C.           D.   参考答案： A 略 4. 设A={}，集合B为函数的定义域，则AB=（  ） A.（1，2）    B.[1，2]       C.[ 1，2）    D.（1，2 ] 参考答案： D 5. 设集合M=[1,2]，，则M∩N=（    ） A. [1,2] B. (－1,3) C. {1} D. {1,2} 参考答案： D 【分析】 首先化简集合N得，结合交集的定义可求结果。 【详解】集合N可化为=； 所以=。答案选D。 【点睛】解决集合的运算类问题的关键在于弄清集合元素的属性含义，弄清集合中元素所具有的形式，以及有哪些元素，在运算时要结合数轴或Venn图。 6. 设函数定义在实数集上，它的图象关于直线1对称，且当x1时，，则有                                    （      ） A．           B． C．           D． 参考答案： B 7. 等差数列满足，，则（   ） A.7                 B.14                 C.21              D.28 参考答案： B 由题意，，所以，所以， ，故选B。   8. 的值为               A. B. C. D. 参考答案： C 9. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ）    A.向左平移个单位长度               B.向右平移个单位长度  C.向左平移1个单位长度               D.向右平移1个单位长度  参考答案： A 略 10. 对于函数在定义域内的任意实数及，都有及 成立，则称函数为“函数”.现给出下列四个函数： ；. 其中是“函数”的是 A．　　　　　　B． 　　　　　C．　　　　　　　D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在四面体中，，二面角的大小为150°，则四面体外接球的半径为          ． 参考答案： 12. 已知“|x﹣a|＜1”是“x2﹣6x＜0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为　    　． 参考答案： [1，5] 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】分别求出不等式的等价条件，利用“|x﹣a|＜1”是“x2﹣6x＜0”的充分不必要条件，确定实数a的取值范围． 【解答】解：由“|x﹣a|＜1”得﹣1＜x﹣a＜1，即a﹣1＜x＜a+1． 由“x2﹣6x＜0”得0＜x＜6． 要使“|x﹣a|＜1”是“x2﹣6x＜0”的充分不必要条件， 则，解得，即1≤a≤5， 故实数a的取值范围为[1，5]． 故答案为：[1，5]． 13. 已知()n展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为__       . 参考答案： 14. 已知，则的值为_______________。 参考答案： 略 15. 已知向量，则____________. 参考答案： 8 【分析】 直接根据向量的坐标运算，求向量的数量积，即可得答案. 【详解】∵，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 16. 在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得 =，则的取值范围是      ． 参考答案： 17. 右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为，，，，，.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿. 参考答案： 9   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 为丰富农村业余文化生活，决定在A,B,N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB＝8km，BC＝km．经协商，文化服务中心拟建在与A,B等距离的O处，并建造三条道路AO,BO,NO与各村通达．若道路建设成本AO,BO段为每公里万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为万元． （1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离； （2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离.       参考答案： 解：（1）不妨设,依题意，，且 由 若三条道路建设的费用相同，则 所以所以。 由二倍角的正切公式得，，即 答：该文化中心离N村的距离为 （2）总费用 即，令 当 所以当有最小值，这时， 答：该文化中心离N村的距离为   19. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M． （I）求证：DE是圆O的切线； （II）求证：DE·BC=DM·AC+DM·AB. 参考答案： 解：（I）连结OE.∵点D是BC的中点，点O是AB的中点， ∴，∴，. ∵，∴， ∴.在和中， ∵，， ∴，即. ∵是圆上一点，∴是圆的切线.    ……5分 （II）延长交圆于点.∵≌，∴. ∵点是的中点，∴. ∵是圆的切线，∴.∴.  ∵， ∴. ∵是圆的切线，是圆的割线， ∴，∴……10分   20. 甲有一只放有a本《周易》，b本《万年历》，c本《吴从纪要》的书箱，且a+b+c =6 (a，b，cN)，乙也有一只放有3本《周易》，2本《万年历》，1《吴从纪要》的书箱，两人各自从自己的箱子中任取一本书（由于每本书厚薄、大小相近，每本书被抽取出的可能性一样），规定：当两本书同名时甲将被派出去完成某项任务，否则乙去. (1) 用a、b、c表示甲去的概率； (2) 若又规定：当甲取《周易》，《万年历》，《吴从纪要》而去的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求甲得分的期望的最大值及此时a、b、c的值. 参考答案： 解：(1)P(甲去)=P(两人均取《周易》)+P(两人均取《万年历》)+P(两人均取《吴从纪要》) = + + =    (2) 设甲的得分为随机变量，则       P(=3)= ，P(=2)= ，P(=1)= ，       P(=0)=1一P(甲去)=1一，   ∴E=3×+2×+1×+0×(1一) = ∵ a，b，c∈N，a+b+c=6，∴b=6，此时a=c=0，    ∴当b=6时，E= ，此时a=c=0，b=6. 21. 已知函数是导函数，记     （1）求函数的单调增区间；     （2）若在区间上存在两个不相等的正数使 求t的取值范围. 参考答案： 解析：（1）由已知.     令，即， .     的单调增区间为，. （2）     ，此时，即，     整理，得. 故t应满足以下关系：①>0     ②；③；④， 联立解之得，故所求的取值范围是[]. 22. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为的菱形，，AC与BD交于点O，平面平面ABCD，，，． （1）求证：OE⊥平面ABCD； （2）若为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角的余弦值． 参考答案： 证明：（1）如图，取中点，连接，， 因为， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， ，分别为，中点， 所以， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以平面． （2）如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系， 显然二面角为锐二面角，设该二面角为， 向量，0，是平面的法向量，设平面的法向量，，， 由题意可知， 所以，0，，，，，，0，，，0， 所以，，，，0，， 则，即， 所以，，， 所以．