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河北省邢台市金店中学2023年高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的值域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 设复数z=(其中i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】直接化简复数为a+bi的形式,即可确定复数在复平面内对应的点所在象限.
【解答】解:因为==,复数z在复平面内对应的点为(),
所以复数z在复平面内对应的点在第四象限.
故选D.
【点评】本题考查复数的基本运算,复数的几何意义,考查计算能力.
3. 已知在双曲线的渐近线上,则该双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. D.
参考答案:
D
【分析】
先由双曲线方程求出双曲线的渐近线方程,再结合双曲线离心率的求法求解即可.
【详解】解:由双曲线方程为,
则双曲线的渐近线方程为,
又在双曲线的渐近线上,
则,
即,
即,
即,
故选:D.
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法,重点考查了双曲线离心率的求法,属基础题.
4. 已知△ABC中内角A为钝角,则复数(sinA﹣sinB)+i(sinB﹣cosC)对应点在( )
A.第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限 C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限
参考答案:
D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】①△ABC中内角A为钝角,可得A>B,A=π﹣(B+C),∴sinA﹣sinB=sin(B+C)﹣sinB,根据A为钝角,可得0<B<B+C<,利用正弦函数的单调性即可得出sinA﹣sinB>0.
②由0<B+C<,可得0<B<﹣C,可得sinB<sin(﹣C)=cosC.即可复数(sinA﹣sinB)+i(sinB﹣cosC)对应点(sinA﹣sinB,sinB﹣cosC)在第四象限.
【解答】解:①∵△ABC中内角A为钝角,∴A>B,A=π﹣(B+C),
∴sinA﹣sinB=sin[π﹣(B+C)]﹣sinB=sin(B+C)﹣sinB,
∵A为钝角,∴0<B<B+C<,
∴sin(B+C)>sinB,即sin(B+C)﹣sinB>0,
则sinA﹣sinB>0.
②∵0<B+C<,∴0<B<﹣C,∴sinB<sin(﹣C)=cosC,
∴sinB<cosC,
∴复数(sinA﹣sinB)+i(sinB﹣cosC)对应点(sinA﹣sinB,sinB﹣cosC)在第四象限.
故选:D.
5. 已知i为虚数单位,复数z满足z(1+i)=i,则复数z所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
A
【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
【解答】解:∵z(1+i)=i,∴z(1+i)(1﹣i)=i(1﹣i),∴z=,
则复数z所对应的点在第一象限.
故选:A.
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
6. 设函数的图象与轴相交于点P, 则曲线在点P的切线方程为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
7. 设,是两个不同的平面,m是直线且.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
B
试题分析:,得不到,因为可能相交,只要和的交线平行即可得到;,,∴和没有公共点,∴,即能得到;∴“”是“”的必要不充分条件.故选B.
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念,属于基础题;并得不到,根据面面平行的判定定理,只有内的两相交直线都平行于,而,并且,显然能得到,这样即可找出正确选项.
8. 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为( )
A.105 B.16 C.15 D.1
参考答案:
C
【考点】循环结构.
【分析】本循环结构是当型循环结构,它所表示的算式为s=1×3×5×…×(2i﹣1),由此能够求出结果.
【解答】解:如图所示的循环结构是当型循环结构,
它所表示的算式为s=1×3×5×…×(2i﹣1)
∴输入n的值为6时,输出s的值s=1×3×5=15.
故选C.
9. 已知向量,,若向量,则 ( )
A.2 B. C. 8 D.
参考答案:
A
10. 已知复数z满足(1+i)z=2,则复数z的虚部为( )
A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i
参考答案:
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.
【解答】解:(1+i)z=2,
∴z===1﹣i.
则复数z的虚部为﹣1.
故选:B.
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过双曲线x2﹣y2=1焦点的直线垂直于x轴,交双曲线于A、B两点,则|AB|= .
参考答案:
2
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线的方程可得其焦点坐标,进而可得直线AB的方程,联立直线AB与双曲线的方程可得AB的纵坐标,由此计算可得线段AB的长度,即可得答案.
【解答】解:双曲线的方程为x2﹣y2=1,其焦点坐标为(±,0),
直线AB的方程为x=或x=﹣,
联立,解可得y=±1,
则|AB|=2;
故答案为:2.
【点评】本题考查双曲线的几何性质,关键是求出点A、B的坐标.
12. (5分)(2015?泰州一模)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率为 .
参考答案:
【考点】: 古典概型及其概率计算公式.
【专题】: 排列组合.
【分析】: 从中任取两个球共有红1红2,红1白1,红1白2,红2白1,红2白2,白1白2,共6种取法,其中颜色相同只有2种,根据概率公式计算即可
解:从中任取两个球共有红1红2,红1白1,红1白2,红2白1,红2白2,白1白2,共6种取法,其中颜色相同只有2种,
故从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率P==;
故答案为:.
【点评】: 本题考查了古典概型概率的问题,属于基础题
13. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知,, 则cosA=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
14. 如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西,与O相距10海里的C处,现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船,甲船需要 小时到达B处。
参考答案:
15. 已知向量满足,,则的取值范围
为
参考答案:
略
16. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 .
参考答案:
12
17. 已知的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,其中.
(1)若,,求在处的切线;
(2)若,当时,对任意的都有,求的取值范围.
参考答案:
(1)当,时,,所以,
因为,所以,即,
故切线方程是,整理得.
(2)当时,,因为时,,
整理得,
令,因为,
当时,,即在时是减函数;
当时,,即在上是增函数,所以.
故.
19. (本小题满分14分)
已知函数在点处的切线为.
(1)求实数,的值;
(2)是否存在实数,当时,函数的最小值为,若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)若,求证:.
参考答案:
(1);(2)存在,的取值范围为;(3)证明见解析.
试题分析:(1)求导,进而可得,即可解出,的值;(2)先对函数求导,再对的值进行分类讨论,即可得的取值范围;(3)结合(2),可证,进而可证,即可证.
试题解析:(1)解:∵,其定义域为,
∴. …………………………………………1分
依题意可得 …………………………………………2分
解得. …………………………………………4分
(2)解:,
∴ . …………………………………………5分
① 当时,,则在上单调递减,
∴. …………………………………………6分
② 当时,,则在上单调递减,
∴. …………………………………………7分
③当时,则时,;时,,
∴在上单调递减,在上单调递增.
故当时,的最小值为.
∵.
∴. …………………………………………8分
综上所述,存在满足题意,其取值范围为. …………………………………………9分
(3)证法1:由(2)知,当时,在上单调递减,
∴ 时,, 即. …………………………………………10分
∵ ,
∴ . …………………………………………11分
∴ . …………………………………………12分
∴ . …………………………………………13分
∵ ,
∴. …………………………………………14分
证法2:
设,
则.
当,, …………………………………………10分
∴在上单调递减
∴. …………………………………………11分
∴时,. …………………………………………12分
,
∴. …………………………………………13分
,
∴. …………………………………………14分
考点:1、利用导数求闭区间上函数的最值;2、利用导数研究函数的单调性;3、利用导数证明不等式.
20. 已知函数,.
(Ⅰ)求函数在区间[1,2]上的最大值;
(Ⅱ)设在(0,2)内恰有两个极值点,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)设,方程在区间[1,e]有解,求实数m的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ),由,可知在内单调递增, …………2分
,故单调递增. …………3分
在上的最大值为.…………4分
(Ⅱ),
,
由题意知:在有两个变号零点,
即在有两个变号零点
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