河北省石家庄市马头铺乡中学高二数学理模拟试题含解析

河北省石家庄市马头铺乡中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由题意知x＞0，不等式等价于：2x?log2x＞0，解出结果． 【详解】根据对数的意义，可得x＞0， 则|2x﹣log2x|＜|2x|+|log2x|等价于2x?log2x＞0， 又由x＞0，可得原不等式等价于log2x＞0， 解可得x＞1， ∴不等式的解集为（1，+∞）， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式公式等号成立的条件，属于基础题. 2. 已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k=（x0﹣2）（x0+1）2，则函数f（x）的极值点的个数（　　） A．0个 B．1个 C．两个 D．三个 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】由题意可知函数的导函数为（x0﹣2）（x0+1）2 ，求出函数的单调区间，求出函数的极值点的个数即可． 【解答】解：由题意可知函数的导函数为f′（x）=（x0﹣2）（x0+1）2， 令f′（x）＞0，解得：x＞2， ∴f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增， ∴f（x）在极小值是f（2）， 故函数f（x）的极值点的个数是1个， 故选：B． 【点评】此题主要考查函数导函数的性质及函数的单调性，考查函数的极值点，是一道基础题． 3. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（　　） A． B． C． D．无法确定 参考答案： B 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从4件产品中取2件，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的产品全是正品，共有C32种结果，根据概率公式得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， ∵试验发生包含的事件是从4件产品中取2件，共有C42=6种结果， 满足条件的事件是取出的产品全是正品，共有C32=3种结果， ∴根据古典概型概率公式得到P=， 故选B． 4. 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 参考答案： B 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】可先根据数量积为零得出与λ（+），垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论． 【解答】解：由=+λ（+）?﹣=λ（+）?， =λ（+）， 又∵=λ（+）=﹣||+||=0，∴ ∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心 故选B． 5. 已知集合A=B=则( ) A.    B.   C.      D. 参考答案： C 6. 曲线作线性变换后得到的回归方程为，则函数的单调递增区间为（   ） A．(0,+∞)           B．(1,+∞)          C．        D． 参考答案： D 令 ，解得， ，开口向上， 的单调递增区间为. 故选：D.   7. 边长为的三角形的最大角的余弦是（     ）. A．            B．              C．              D． 参考答案： B 8. 已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是 A.1    B.    C.   D. 参考答案： B 9. 设不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，对于中的任意一点M和中的任意一点N，的最小值为（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 做出题目中所示的区域,由图可以看出 的最小值为圆心到原点O的长度减去圆的半径，圆心为（-2，2），到原点的距离为，圆的半径为.所以.   10. 设表示平面，a、b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①若a∥，a⊥b，则b⊥；②若a∥b，a⊥，则b⊥；③若a⊥，a⊥b，则b∥；④若a⊥,b⊥,则a∥b．其中为假命题的是（    ） A．②③　　　　 B．　①③　　　　　 C．②④　　　 D．①③④ 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为　    　． 参考答案： 15 【考点】分层抽样方法；循环结构． 【分析】根据分层抽样的定义和方法，先求出每个个体被抽到的概率，再根据用样本容量除以个体总数得到的值就等于每个个体被抽到的概率，由此求得样本容量． 【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率等于 =． 设样本容量等于n，则有 =，解得n=15， 故答案为15． 12. 若不等式对于一切成立，则实数的取值范围是 参考答案： 13. 已知…，观察以上等式，若均为实数），则      _． 参考答案：    14. 在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计） 参考答案： 略 15. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝       参考答案： -11 16. （+）dx=　　． 参考答案： +π 【考点】定积分． 【分析】根据定积分的计算和定积分的几何意义即可求出． 【解答】解： dx=?=， dx表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一， ∴dx=π， ∴（+）dx=+π， 故答案为： +π． 17. 对于三次函数给出定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点” ．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心． 给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：    （1）函数的对称中心为_________；    （2）计算…_________． 参考答案： ,2012 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的一个顶点为，焦点在x轴上，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围． 参考答案： 解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程为： ……1分 又椭圆的一个顶点为，离心率为   ∴ 即  ……2分 又   ∴     ……3分  ∴                          ……4分 ∴椭圆的方程为：       ……5分 略 19. (本小题满分12分) 若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值． 参考答案： 解：y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2>0， 解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1，或x>3}． f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2. 令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或08或08时，f(x)∈(－∞，－160)， 当2x＝t＝，即x＝log2时，f(x)＝. 综上可知：当x＝log2时，f(x)取到最大值为，无最小值． 略 20. （本小题满分12分）求经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程． 参考答案： [解析]： 由题意知：过A（2，－1）且与直线：x+y=1垂直的直线方程为：y=x－3,∵圆心在直线：y=－2x上，  ∴由 即，且半径， ∴所求圆的方程为：． 略 21. 在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图． （Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值． 参考答案： 【分析】（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD； （2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可 （法二：空间向量法） （1）同法一 （2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可 【解答】解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形， 所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B 所以BC⊥平面SAB， 又SA?平面SAB， 所以BC⊥SA， 又SA⊥AB，BC∩AB=B 所以SA⊥平面ABCD， （2）在AD上取一点O，使，连接EO 因为，所以EO∥SA 因为SA⊥平面ABCD， 所以EO⊥平面ABCD， 过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH， 则AC⊥平面EOH， 所以AC⊥EH． 所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，． 在Rt△AHO中， ∴， 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为 解法二：（1）同方法一 （2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，） ∴平面ACD的法向为 设平面EAC的法向量为=（x，y，z）， 由， 所以，可取 所以=（2，﹣2，1）． 所以 所以 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为 22. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1． （Ⅰ）证明：BM⊥AN； （Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角． 【分析】（Ⅰ）以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，由?=0即可证明AN⊥BM． （Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由向量的夹角公式即可求得直线MN与平面PCD所成角的正弦值． 【解答】（本题满分12分） 解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），… （Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），… ∴?=0…（5分） ∴⊥，即AN⊥BM…（6分） （Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分） ∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2）， 由，可得，…（9分） 解得：， 取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分） 设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1