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河北省衡水市大子文乡中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.现有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程,点A,B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发,沿直线运动,经椭圆壁反射后再回到点A时,此时小球经过的路程可能是( )
A.32或4或16﹣4 B.16+4或28或16﹣4
C.28或4或 16+4 D.32或28或4
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】根据椭圆简单几何性质可知,当静止的小球放在点A处,从点A沿直线出发,射到左顶点,经椭圆壁反弹后,再回到点A时;射到右顶点,经椭圆壁反弹后,再回到点A时,;小球从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点,所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和,进而根据椭圆的定义可求得答案.
【解答】解:由题意可知:,可知a=8,b=2,c=6,
∴当静止的小球放在点A处,从点A沿直线出发,到达左顶点,经椭圆壁反弹后,
再回到点A时,小球经过的路程是2×2=4;
当到达右顶点,经椭圆壁反弹后,再回到点A时,小球经过的路程是2×(8+6)=28;
小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点,根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×8=32.
故答案选:D.
【点评】本题主要考查了椭圆的性质的简单应用.考查椭圆的第一定义的应用,属于基础题.
2. 用反证法证明“方程ax2+bx+c=0(a≠0)至多有两个解”的假设中,正确的是( )
A.至多有一个解 B.有且只有两个解
C.至少有三个解 D.至少有两个解
参考答案:
C
【考点】R9:反证法与放缩法.
【分析】把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面,即为所求.
【解答】解:由于用反证法证明数学命题时,应先假设命题的否定成立,
命题:“方程ax2+bx+c=0(a≠0)至多有两个解”的否定是:“至少有三个解”,
故选C.
3. 设双曲线分别为双曲线的左、右焦点.若双曲线存在点M,满足(O为原点),则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)2
参考答案:
D
4. “﹣1≤x≤2”是“x2﹣x﹣2=0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.冲要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】解方程,求出方程的根,根据充分必要条件的定义判断即可.
【解答】解:由x2﹣x﹣2=0,解得:x=2或x=﹣1,
故“﹣1≤x≤2”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件,
故选:B.
【点评】本题考查了充分必要条件的定义,考查集合的包含关系,是一道基础题.
5. 我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设(a>b>0)为“优美椭圆”,F、A分别是它的左焦点和右顶点,B是它短轴的一个端点,则∠ABF等于()
A.60° B.75° C.90° D.120°
参考答案:
C
6. 已知条件,条件。若是的充分不必要条件,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
7. 已知命题p:“对?x∈R,?m∈R,使4x+m?2x+1=0”.若命题?p是假命题,则实数m的取值范围是( )
A.﹣2≤m≤2 B.m≥2 C.m≤﹣2 D.m≤﹣2或m≥2
参考答案:
C
【考点】命题的否定;全称命题;命题的真假判断与应用.
【专题】计算题.
【分析】命题p是真命题,利用分离m结合基本不等式求解.
【解答】解:由已知,命题?p是假命题,则命题p是真命题,
由4x+m?2x+1=0得m=﹣≤﹣=﹣2,当且仅当x=0是取等号.
所以m的取值范围是m≤﹣2
故选C
【点评】本题考查复合命题真假的关系,参数取值范围,考查转化、逻辑推理、计算能力.
8. 直线的倾斜角为( )
参考答案:
A
略
9. 若坐标原点到抛物线的准线的距离为2,则( )
A.8 B.±8 C. D.
参考答案:
D
因,故由题设可得,所以,应选答案D。
10. 一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在秒末的瞬时速度是( )
A.米/秒 B.米/秒 C.米/秒 D.米/秒
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列{}的前项和为= n2 + 2n ,则数列{}的通项公式= _.
参考答案:
2n+1
12. 若方程有一个正根和一个负根,则实数的取值范围是____.
参考答案:
略
13. 两条平行直线与的距离为
参考答案:
2
14. 已知为抛物线上一点,为抛物线焦点,过点作准线的垂线,垂足为.若,点的横坐标为,则___________.
参考答案:
根据题意,可知,,
∵,
∴,
∴,解得:.
15. 如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是 .(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)
参考答案:
【考点】在实际问题中建立三角函数模型;解三角形.
【分析】过P作PP′⊥BC,交BC于P′,连接AP′,则tanθ=,求出PP′,AP′,利用函数的性质,分类讨论,即可得出结论.
【解答】解:∵AB=15m,AC=25m,∠ABC=90°,
∴BC=20m,
过P作PP′⊥BC,交BC于P′,连接AP′,则tanθ=,
设BP′=x,则CP′=20﹣x,
由∠BCM=30°,得PP′=CP′tan30°=(20﹣x),
在直角△ABP′中,AP′=,
∴tanθ=?,
令y=,则函数在x∈[0,20]单调递减,
∴x=0时,取得最大值为=.
若P′在CB的延长线上,PP′=CP′tan30°=(20+x),
在直角△ABP′中,AP′=,
∴tanθ=?,
令y=,则y′=0可得x=时,函数取得最大值,
故答案为:.
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
16. 如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=30°,以及∠MAC=105°,从C测得∠MCA=45°,已知山高BC=150米,则所求山高MN为 .
参考答案:
150m
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】由题意,通过解△ABC可先求出AC的值,解△AMC,由正弦定理可求AM的值,在RT△MNA中,AM=300m,∠MAN=60°,从而可求得MN的值.
【解答】解:在RT△ABC中,∠CAB=30°,BC=150m,所以AC=300m.
在△AMC中,∠MAC=105°,∠MCA=45°,从而∠AMC=30°,
由正弦定理得,AM==300m.
在RT△MNA中,AM=300m,∠MAN=60°,
得MN=300×=150m.
故答案为150m.
【点评】本题主要考察了正弦定理的应用,考察了解三角形的实际应用,属于中档题.
17. 关于函数,有下列命题
①由,可得必是的整数倍;
②的表达式可改写成;
③的图象关于点对称;
④的图象关于直线对称。其中正确命题的序号为 。
参考答案:
②③
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,,平面,点是的中点,是的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.
参考答案:
(Ⅰ) 取中点为,连
∵ 是的中点 ∴是的中位线,∴
∵ 是中点且是菱形,,∴ . ∴
∴ 四边形是平行四边形. 从而 ,
∵ 平面 ,平面,
∴ ∥平面
(Ⅱ)由(Ⅰ) 得,∴直线与平面所成角就是直线与平面所成角。
过做,垂足为,连
∵平面∴面平面
又∵面平面=,∴
∴是直线与平面所成的线面角
又底面是菱形,,,是的中点∴,
又∵,∴∴,.
∴直线与平面所成的线面角的正弦值为.
略
19. (本题6分)设向量满足及.
(1)求向量的夹角的大小;
(2)求的值.
参考答案:
(1)设 所成角为,由可得,,将代入得:,所以,
又,故,即 所成角的大小为.
(2)因为 所以.
略
20. 《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对空间感知、照相式记忆进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”,分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人.
(1)根据题意,填写下面的2×2列联表,并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关;
性别
入围人数
未入围人数
总计
男生
24
女生
80
总计
(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生,然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》,设抽到的3名学生中女生的人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:,其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案:
(1)填表见解析,没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.(2)详见解析
【分析】
(1)根据题意填充2×2列联表,再利用独立性检验判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关;(2)先求出X的可能取值为0,1,2,3,再求出对应的概率,即得X的分布列及数学期望.
【详解】解:(1)填写列联表如下:
性别
入围人数
未入围人数
总计
男生
24
76
100
女生
20
80
100
总计
44
156
200
因为的观测值,
所以没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.
(2)这11名学生中,被抽到的男生人数为,被抽到的女生人数为,
的可能取值为0,1,2,3,
,
,
,
.
所以的分布列为
0
1
2
3
故.
【点睛】本题主要考查2×2列联表和独立性检验,考查随机变量的分布列和数学期望的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21. 已知函数f(x)=x2+ln x.
(1)求函
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