河北省邢台市广宗县第二中学2023年高三数学理测试题含解析

河北省邢台市广宗县第二中学2023年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6行开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623         B．328       C．253        D． 007 参考答案： A 从第5行第6列开始向又读取数据， 第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457， 下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个是623，故选A.   2. 某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是 A． B．    C． D． 参考答案： A 3. 设函数 则关于x的方程有7个不同的实数解的充要条件是 A. b<0且c>0 B.b>0且c<0 C.b<0且c=0 D. b>0且c=0 参考答案： C 二次方程有最多有两个解 如图所示， 从而两根和-b>0且两根积c=0 4. 已知命题: “若,则”成立,那么字母x,y,z在空间所表示的几何图形不能  A.都是直线    B.都是平面     C.x,y是直线,z是平面      D.x,z是平面,y是直线 参考答案： C 略 5. 双曲线的左焦点为，过右顶点作轴的垂线分別交两渐近线于两点，若为等边三角形，则的离心率是（   ） A．          B．        C．2       D． 参考答案： C 6. 在等差数列等于(    )       A．9                         B． 27                     C．18                       D．54 参考答案： A 7. a＞0，a≠1，函数f（x）=在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（　　） A．或a＞1 B．a＞1 C． D．或a＞1 参考答案： A 【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 【分析】对a分a＞1与0＜a＜1，利用复合函数的单调性结合函数g（x）=|ax2﹣x|的图象列出符合条件的不等式组，解之即可． 【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）=|ax2﹣x|作出其图象如下： ∵函数f（x）=在[3，4]上是增函数， 若a＞1，则或，解得a＞1； 若0＜a＜1，则，解得≤a＜； 故选A． 8. 设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为 参考答案： B 略 9. 设全集，集合，则 （  ） A.    B.      C.       D. 参考答案： D 10. 如图,正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是                      （    ）     A．直线AH和BB1所成角为45°     B．AH的延长线经过点C1     C．AH垂直平面CB1D1     D．点H是的垂心 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则对应的的集合为       . 参考答案： [-1，2] 12. 三棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所永，则这个三棱柱的全面积等于_____________ 参考答案： 13. 若函数，且在实数上有三个不同的零点，则实数__________． 参考答案： 14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数          ． 参考答案： 考点：抛物线双曲线的几何性质及有关概念的综合运用． 15. 的展开式中，的系数是______ (用数字作答). 参考答案： 84   本题主要考查对二项展开式的通项公式以及计算能力，难度一般.   因为的展开式中的系数即为的展开式中的系数，而的展开式中的第r+1项为，当，是含的项，其系数为，即原展开式中的系数为84. 16. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是      ． ①对于任意的平面，都有直线GF，EH，BD相交于同一点； ②存在一个平面，使得点在线段BC上，点H在线段AD的   延长线上； ③对于任意的平面，都有； ④对于任意的平面，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值． 参考答案： ③④ 17. 已知函数，若函数的最小正周期是，且当时，则关于的方程的解集为________________________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}的前n项的和为，，. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，记数列bn的前n项和Tn，求使得恒成立时m的最小正整数. 参考答案： (1) (2)1 【分析】 （1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可； （2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以  解得 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知 ∴ , ∴，∴，∴的最小正整数为1 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型. 19. （本小题满分12分） 已知函数(其中). （Ⅰ）若为的极值点,求的值； (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式. 参考答案： (Ⅰ)因为 因为为的极值点,所以由,解得 检验,当时,,当时,,当时,. 所以为的极值点,故.                               ……………4分 (Ⅱ) 当时,不等式, 整理得, 即或                  令,,, 当时,；当时,, 所以在单调递减,在单调递增,所以,即, 所以在上单调递增,而； 故；, 所以原不等式的解集为.                          ……………12分 20. （本小题满分14分） 已知抛物线上一点到其焦点F的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点F. （I）求抛物线和椭圆的标准方程； （II）过点F的直线交抛物线于A、B两不同点，交轴于点N，已知，求证：为定值. （III）直线交椭圆于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为，， ，若点S满足：， 证明：点S在椭圆上. 参考答案： 所以 ,所以  (*)……………………5分 由得: 得: ……………………………………7分 所以 将(*)代入上式,得…………………9分 (Ⅲ)设 所以,则 由得 (1)…………………………………11分 ,(2)    (3) (1)+(2)+(3)得: 即满足椭圆的方程 命题得证………………………………………………………14分 21. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱的中点，且． （1）求证：；（2）如果是棱上一点，若，求的值 参考答案： （1）见解析;（2）    【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定G5 G7 解析：（1）证明：连接AC． ∵在△ABC中， AB=AC=2，BC=2， ∴BC2=AB2+AC2， ∴AB⊥AC． ∵AB∥CD， ∴AC⊥CD．                    又∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥CD． ∵AC∩PA=A， ∴CD⊥平面PAC． （2）解：∵点M是线段PD的中点， ∴点P，M到底面ABCD的距离之比为2：1， S△BNC：S△ANC=， ∴==×==， ∴=． 【思路点拨】（1）连接AC．在△ABC中，BC2=AB2+AC2，AB⊥AC．由AB∥CD，可得AC⊥CD． 利用线面垂直的性质可得PA⊥CD．即可证明．（2）由于点M是线段PD的中点，可得点P，M到底面ABCD的距离之比为2：1，而S△BNC：S△ANC=，即可得出体积之比． 22. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为. (1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程； (2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值． 参考答案： (1)C1：3x2＋y2＝3，l：x＋y＝4. ……………………………………………………………4分 (2)法一：设Q(cos θ，sin θ)，则点Q到直线l的距离 d＝  ＝＝≥＝当且仅当θ＋＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋ (k∈Z)时，Q点到直线l距离的最小值为.…………10分 法二：设Q(x，y)，直线l：x＋y＝c与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c，则Q点到直线l距离的最小值为两平行直线间的距离．