广东省揭阳市普宁城南中学2023年高二数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于 ( )
.或 .或 .或 或
参考答案:
A
2. 设复数Z满足|Z-3-4i|=1,则|Z|的最大值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案:
B
略
3. 利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图所示),则原图形的形状是( )
A. B. C.D.
参考答案:
A
【考点】LD:斜二测法画直观图.
【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形,即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点,用直线段连结后得到原四边形.
【解答】解:还原直观图为原图形如图,
故选:A.
【点评】本题考查了平面图形直观图的画法,解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤,从而还原得到原图形.
4. 已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三向量共面,则实数λ等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( )
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
参考答案:
C
【分析】
从4个人中选2个作为一个元素,再将它与其他两个元素在一起进行排列,由分步计数原理计算可得答案.
【详解】将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,只有一种分组方法,即1,1,2,
首先从4个人中选2个作为一个元素,使它与其他两个元素在一起进行排列,
共有C42A33=36种结果,
故选:C.
6. 抛物线上有一点P,P到椭圆的左顶点的距离的最小值为( )
A. B.2+ C. D.
参考答案:
A
7. 对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1) f′(x)≥0,则必有
A. f(0)+ f(2)<2 f(1) B. f(0)+ f(2)≤2 f(1)
C. f(0)+ f(2)≥2 f(1) D. f(0)+ f(2)>2 f(1)
参考答案:
C
8. 直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为,则展开式中,x的系数为 ( )
A. 20 B. -20 C. 5 D. -5
参考答案:
A
分析】
先通过积分运算得出a值为4,再通过二项展开式的通项公式计算含有x的项,得出系数.
【详解】由, 得x=0,或x=2,或x=-2,因为a为在第一象限围成的封闭图形面积,
所以,
展开式中的第项为,
由可得,所以展开式中的系数为.
【点睛】本题考查定积分的应用、二项式定理、二项展开式通项公式、考查一定的计算能力,本题的易错点在于区分项的系数和二项式系数,属于基础题.
9. 在△ABC中,已知A=,a=8,b=,则△ABC的面积为 ( )
A. B.16 C. 或16 D. 或
参考答案:
D
略
10. 等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( )
A. B. C . D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 离心率,焦距2c=4的椭圆的标准方程为 .
参考答案:
+=1或+=1
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】方程思想;分类法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由椭圆的焦距是4,离心率,先求出a=3,c=2,可得b,分焦点在x轴和y轴,求出椭圆的标准方程.
【解答】解:∵椭圆的焦距是4,离心率,
∴c=2,=,解得a=3,
b2=a2﹣c2=9﹣4=5,
∴当焦点在x轴上,椭圆的标准方程为+=1;
当焦点在y轴上,椭圆的标准方程为+=1.
故答案为:或.
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,注意运用椭圆的性质,是基础题,解题时要避免丢解.
12. 若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于____________.
参考答案:
略
13. 若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积,则集中元素个数的最大值为 .
参考答案:
31
解析:从中每次取一对作乘积,共得个值,但其中有重复,重复的情况为,共种,因此集合中至多有 个数
14. 平面直角坐标系中,三个顶点的坐标为A(a,0),B(0,b),C(0,c),点D(d,0)在线段OA上(异于端点),设a,b,c,d均为非零实数,直线BD交AC于点E,则OE所在的直线方程为 ▲_
参考答案:
15. 已知直线:和:垂直,则实数的值为_________.
参考答案:
【分析】
对a分类讨论,利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.
【详解】a=1时,两条直线不垂直,舍去.
a≠1时,由﹣×=﹣1,解得a=.
故答案为:.
【点睛】本题考查了分类讨论、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查推理能力与计算能力,属于基础题.
16. 如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆(a>b>0)的右焦点F,且两条曲线的交点连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为 ▲ .
参考答案:
-1
17. 如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1,则下列四个命题:
①P在直线BC1上运动时,三棱锥A﹣D1PC的体积不变;
②P在直线BC1上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;
③P在直线BC1上运动时,二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是过D1点的直线,其中真命题的编号是 .(写出所有真命题的编号)
参考答案:
①③④
【考点】LM:异面直线及其所成的角;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;MJ:与二面角有关的立体几何综合题.
【分析】①易知BC1∥平面AD1C,所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等,底不变,所以体积不变.
②通过举例说明,如直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等.
③P在直线BC1上运动时,可知AP的轨迹是平面PAD1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响.
④空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面,又点M在面A1B1C1D1内,则点M的轨迹是面A1B1C1D1与 线段DC1的中垂面的交线,即AD1,所以必过D1点.
【解答】解:①∵BC1∥平面ACD1,∴BC1∥上任意一点到平面AD1C的距离相等,所以体积不变,正确.
②P在直线BC1上运动时,直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等,所以不正确.
③当P在直线BC1上运动时,AP的轨迹是平面PAD1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响,所以正确.
④∵空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面,又点M在面A1B1C1D1内,则点M的轨迹是面A1B1C1D1与 线段DC1的中垂面的交线,即AD1,所以正确.
故答案为:①③④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知p: , q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若﹁p是﹁q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.
参考答案:
由x2-2x+1-≤0得:1-m≤x≤1+m(m>0)
所以:“﹁q”:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}
由p:得:-2≤x≤10,所以
“﹁ p”:B={x|x>10或x<-2}.
由﹁p是﹁q的必要而不充分条件,知:AB,
故m的取值范围为
略
19. 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点 A,B,设P为椭圆上一点,且满足( O为坐标原点),当时,求实数t的取值范围.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由离心率公式和直线与圆相切的条件,列出方程组求出a、b的值,代入椭圆方程即可;
(2)设A、B、P的坐标,将直线方程代入椭圆方程化简后,利用韦达定理及向量知识,即可求t的范围.
【解答】解:(1)由题意知,…1分
所以.即a2=2b2.…2分
又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切,
∴,…3分,
则a2=2.…4分
故椭圆C的方程为. …6分
(2)由题意知直线AB的斜率存在.
设AB:y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
由得(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0.
△=64k4﹣4(2k2+1)(8k2﹣2)>0,解得…7分
且,.
∵足,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y).
当t=0时,不满足;
当t≠0时,解得x==,
y===,
∵点P在椭圆上,∴,
化简得,16k2=t2(1+2k2)…8分
∵<,∴,
化简得,
∴,
∴(4k2﹣1)(14k2+13)>0,解得,即,…10分
∵16k2=t2(1+2k2),∴,…11分
∴或,
∴实数取值范围为…12分
20. (12分)设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0
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