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河北省衡水市精英中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法中错误的是( )
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
参考答案:
A
2. 若一元二次不等式的解集是,则的值等于 ( )
A.-14 B.14 C.-10 D.10
参考答案:
C
3. 已知a=﹣2(sin2﹣)dx,则二项式(ax+)9的展开式中x的一次项系数为( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
参考答案:
D
【考点】二项式定理的应用.
【分析】利用微积分基本定理可得a,二项式定理的通项公式,即可得出.
【解答】解:a=﹣2(sin2﹣)dx=cosxdx==﹣sin0=1,
则二项式(ax+)9=的展开式中的通项公式:Tr+1==x9﹣2r,
令9﹣2r=1,解得r=4,∴x的一次项系数为=.
故选:D.
4. 过点(﹣2,4)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
参考答案:
C
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.
【分析】根据直线截距的意义即可得到结论.
【解答】解:若直线过原点,则满足条件,此时设直线方程为y=kx,则4=﹣2k,解得k=﹣2,此时直线为y=﹣2x,
若直线不经过原点,则设直线的截距式方程为,
∵直线过点(﹣2,4,),∴,
∵|a|=|b|,
∴a=b或a=﹣b,
若a=b,则方程等价为,解得a=b=2,此时直线方程为x+y=2,
若a=﹣b,则方程等价为,解得b=6,a=﹣6,此时直线方程为x﹣y=﹣6,
故满足条件的直线有3条,
故选:C
5. 如图所示,已知则下列等式中成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
由,即。
6. 对任意的实数,直线与圆的位置关系一定是( )
A.相切 B. 相交且直线不过圆心
C.相交且直线不一定过圆心 D. 相离
参考答案:
B
略
7. 已知等比数列{an}中,,公比,且满足,,则( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
参考答案:
D
8. 如果实数满足等式(-2)2+y2=3,那么的最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 已知二面角的平面角是锐角,内一点到的距离为3,点C到棱的距离为4,那么的值等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:
因为二面角 的平面角是锐角,内一点到的距离为3,点C到棱的距离为4,所以长度为4的线段到平面 的投影是,所以 .
故选D.
考点:二面角的平面角.
10. 已知,那么函数有 ( )
(A)最大值2 (B)最小值2 (C)最小值4 (D)最大值4
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,已知球的面上有四点,平面,,
,则球的体积与表面积的比值为__________.
参考答案:
略
12. 设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆相交所得弦长为,为坐标原点,则面积的最小值为_______.
参考答案:
略
13. 从4个男生3个女生中挑选3人参加智力竞赛,要求既有男生又有女生的选法共有___▲___种.
(用数字作答)
参考答案:
30
这人中既有男生又有女生,包括男女和男女两种情况:若人中有男女,则不同的选法共有种;若人中男女,则不同的选法共有种,根据分类计数原理,既有男生又有女生的选法共有种,故答案为.
14. 已知函数若对任意x1≠x2,都有成立,则a的取值范围是
参考答案:
(0, ]
略
15. 设数列{an}、{bn}都是等差数列,且a1=15,b1=35,a2+b2=60,则a36+b36= .
参考答案:
400
【考点】等差数列的性质.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
【分析】由题意可得数列{an+bn}为等差数列,且公差为10,则a36+b36可求.
【解答】解:∵数列{an},{bn}都是等差数列,
∴数列{an+bn}为等差数列,
又a1=15,b1=35,
∴a1+b1=50,而a2+b2=60,
故数列{an+bn}的公差为10,
∴a36+b36=50+35×10=400.
故答案为:400.
【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,属基础题.
16. 设为实数,且,则 .
参考答案:
4
略
17. 已知函数流程图表示的是给定 x 值,求其相应函数值的算法.请将该流程图补充完整.其中①处应填 ,
②处应填 ,
若输入x=3,则输出结果为
参考答案:
, ,5.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对于任意恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)由得 -------------------2分
∴ -------------------4分
(2)对 x∈[1,+ )恒成立
∴ -------------------------------------6分
令 ----------------------------------8分
当时, ---------------------------10分
∴ ------------------------------------------12分
(注:分类讨论解法酌情给分)
19. 对于函数,若图象上存在2个点关于原点对称,则称为“局部中心对称函数”.
(Ⅰ)已知二次函数,试判断是否为“局部中心对称函数”?并说明理由;
(Ⅱ)若为定义域上的“局部中心对称函数”,求实数m的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当时,若图象上存在2个点关于原点对称
则方程
即,
时,方程有实数根, 时,方程无实数根.
∴时,是“局部中心对称函数”, 时,不是“局部中心对称函数” .
(Ⅱ)当时,可化为
.
令,则,
即有解,即可保证为“局部中心对称函数”.
令,
1° 当时,在有解,
由,即,解得;
2° 当时,在有解等价于
解得.
综上,所求实数m的取值范围为.
略
20. 圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,过坐标原点作长为8的弦,求弦所在的直线方程。
参考答案:
21. 已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:y=﹣2相切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,证明:AQ⊥BQ.
参考答案:
【考点】轨迹方程.
【专题】计算题;分类讨论;转化思想.
【分析】(I)由题意可得:动圆圆心到定点(0,2)与到定直线y=﹣2的距离相等,利用抛物线的定义求轨迹方程即可;
(II)设AB:y=kx+2,将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A、B两点的切线斜率关系,从而解决问题.
【解答】解:(I)依题意,圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点,L:y=﹣2为准线的抛物线上
因为抛物线焦点到准线距离等于4,所以圆心的轨迹是x2=8y
(II)∵直线AB与x轴不垂直,设AB:y=kx+2.A(x1,y1),B(x2,y2).
x2﹣8kx﹣16=0,x1+x2=8k,x1x2=﹣16
抛物线方程为.
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
,,
所以,AQ⊥BQ
【点评】本题考查轨迹方程的求法,以及抛物线定义的应用,体现分类讨论的数学思想.定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.
22. 平面内给定三个向量=(3,2),=(-1,2),=(4,1).
(1)求满足的实数m,n;
(2)若,求实数k;
参考答案:
解:(1)因为a=mb+nc,
所以(3,2)=(-m+4n,2m+n),
所以
(2)因为(a+kc)∥(2b-a),
又a+ k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
所以2(3+4k)+5(2+k)=0,即k=-.
略
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