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河北省衡水市车庄中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在等比数列中,如果那么该数列的前项和为
A.12 B.24 C.48 D.204
参考答案:
D
2. 如图,在矩形中,,,点为的中点,点在边上,若,则的值是
(A)2 (B)1 (C) (D)
参考答案:
D
3. 设O是三角形ABC内部一点,且,则△AOB与△AOC的面积之
比为( )
A.2 B. C.1 D.
参考答案:
D
略
4. 若集合,,若,则的值为( )
A.2 B.-2 C.-1或2 D.2或
参考答案:
A
5. 当m=6,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.6 B.30 C.120 D.360
参考答案:
C
6. 若实数,满足不等式组,则的最大值是
A.13 B. 12 C.11 D.10
参考答案:
A
7. 已知双曲线左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线右支上存在点P使得,则该双曲线离心率的取值范围为
A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,)
参考答案:
C
略
8. 若,且,则下列不等式成立的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
9. 在正项等比数列{an}中,a1008a1010=,则lga1+lga2+…+lga2017=( )
A.﹣2016 B.﹣2017 C.2016 D.2017
参考答案:
B
【考点】8E:数列的求和;88:等比数列的通项公式.
【分析】由正项等比数列{an}中,可得a1a2017=a2a2016=…=a1008a1010==,解得a1009=.再利用对数的运算性质即可得出.
【解答】解:由正项等比数列{an}中,可得a1a2017=a2a2016=…=a1008a1010==,解得a1009=.
则lga1lga1+lga2+…+lga2017==2017×(﹣1)=﹣2017.
故选:B.
10. 已知集合A={x|x﹣2<0},B={x|x2﹣x﹣2<0},则A∩B=( )
A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,1) C.(﹣2,1) D.(﹣1,2)
参考答案:
D
解:A={x|x<2},B={x|﹣1<x<2},
∴A∩B=(﹣1,2).
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列的前项和为,且,用表示不超过的最大整数,
如,设,则数列的前2n项和为
参考答案:
12. 设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=___________。
参考答案:
略
13. 若函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
参考答案:
0<b<2
【考点】函数的零点.
【分析】由函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,可得|2x﹣2|=b有两个零点,从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点,结合函数的图象可求b的范围
【解答】解:由函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,可得|2x﹣2|=b有两个零点,
从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点,
结合函数的图象可得,0<b<2时符合条件,
故答案为:0<b<2
14. 已知圆O的半径为3,从圆O外一点A引切线AD和割线ABC,圆心O到AC的距离为2,AB=3,则切线AD的长为____
参考答案:
15. 如图4,正方形和正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过两点,则.
参考答案:
16. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是
参考答案:
略
17. 设是函数的一个零点,则函数在区间内所有极值点之和为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD,
且AE⊥平面CDE,AE=1.
(Ⅰ)求证:CD⊥平面ADE;
(Ⅱ)求BE与平面ABCD所成角的余弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.
【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)由已知得AD⊥CD,AE⊥CD,由此能证明CD⊥面ADE.
(Ⅱ)过E作EF⊥AD交AD于F,连BF,则∠EBF为BE与平面ABCD所成的角,由此能求出BE与平面ABCD所成角的余弦值.
【解答】(本小题满分15分)
证明:(Ⅰ)∵正方形ABCD,∴AD⊥CD,(2分)
∵AE⊥平面CDE,∴AE⊥CD,(5分)
又∵AE∩AD=A,
∴CD⊥面ADE.过E作EF⊥AD交AD于F,连BF,
∵CD⊥面ADE,CD⊥EF,CD∩AD=D,(9分)
∴EF⊥平面ABCD,
∴∠EBF为BE与平面ABCD所成的角,(12分)
∵BE=,,∴,
∴.
∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为.(15分)
【点评】本题考查线面垂直的证明,考查线面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
19. 在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数). 以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线和曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)已知直线上一点的极坐标为,其中. 射线与曲线交于不同于极点的点,求的值.
参考答案:
(Ⅰ)直线的普通方程为,极坐标方程为
曲线的普通方程为,极坐标方程为..............4分
(Ⅱ)∵点在直线上,且点的极坐标为
∴
∵ ∴
∴射线的极坐标方程为
联立,解得
∴.....................................................10分
20. 已知椭圆E: +=1(a>)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A(,0)的直线交椭圆E于P,Q两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线;
(3)当△FPQ面积最大时,求直线PQ的方程.
参考答案:
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】(1)由椭圆的离心率公式,计算可得a与c的值,由椭圆的几何性质可得b的值,将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案;
(2)根据题意,设直线PQ的方程为y=k(x﹣3),联立直线与椭圆的方程可得(3k2+1)x2﹣18k2x+27k2﹣6=0,设出P、Q的坐标,由根与系数的关系的分析求出、的坐标,由向量平行的坐标表示方法,分析可得证明;
(3)设直线PQ的方程为x=my+3,联立直线与椭圆的方程,分析有(m2+3)y2+6my+3=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),结合根与系数的关系分析用y1.y2表示出△FPQ的面积,分析可得答案.
【解答】解:(1)由,
c=ea=×=2,
则b2=a2﹣c2=2,
∴椭圆E的方程是.
(2)证明:由(1)可得A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x﹣3),
由方程组,得(3k2+1)x2﹣18k2x+27k2﹣6=0,
依题意△=12(2﹣3k2)>0,得.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则,
∵,
由(2﹣x1)y2﹣(x2﹣2)y1=(2﹣x1)?k(x2﹣3)﹣(x2﹣2)?k(x1﹣3)=,
得,∴M,F,Q三点共线.
(3)设直线PQ的方程为x=my+3.
由方程组,得(m2+3)y2+6my+3=0,
依题意△=36m2﹣12(m2+3)>0,得.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则.
∴=,
令t=m2+3,则,
∴,即时,S△FPQ最大,
∴S△FPQ最大时直线PQ的方程为.
21. (本小题满分12分)
已知函数常数且.
(Ⅰ)证明:当时,函数有且只有一个极值点;
(Ⅱ)若函数存在两个极值点证明:且.
参考答案:
依题意,. ……1分
令,则. ……2分
(Ⅰ)①当时,,,故,
所以在不存在零点,则函数在不存在极值点;………3分
②当时,由,故在单调递增.
又,,
所以在有且只有一个零点. ……4分
又注意到在的零点左侧,,在的零点右侧,,
所以函数在有且只有一个极值点. …………5分
综上知,当时,函数在内有且只有一个极值点. …………5分
(Ⅱ)因为函数存在两个极值点,(无妨设),
所以,是的两个零点,且由(Ⅰ)知,必有. ………6分
令得;令得;令得.
所以在在单调递增,在单调递减, …………7分
又因为,
所以必有. …………8分
令,解得,
此时.
因为是的两个零点,
所以,. …………9分
将代数式视为以为自变量的函数,
则. …………10分
当时,因为,所以,
则在单调递增.
因为,所以,
又因为,所以. …………11分
当时,因为,所以,
则在单调递减,
因为,所以. …………12分
综上知,且. …………12分
22. 已知点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,求·的最大值.
参考答案:
由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得y20=3,
因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以?=x0(x0+1)+y20=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,?取得最大值+2+3=6.
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