河北省衡水市车庄中学高三数学文下学期期末试题含解析

河北省衡水市车庄中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在等比数列中，如果那么该数列的前项和为 A．12               B．24               C．48              D．204   参考答案： D 2. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 （A）2       （B）1     （C）         （D） 参考答案： D 3. 设O是三角形ABC内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之 比为（   ）     A．2     B．       C．1        D． 参考答案： D 略 4. 若集合，，若，则的值为（  ） A．2       B．-2     C．-1或2    D．2或 参考答案： A 5. 当m＝6，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A．6        B．30      C．120      D．360 参考答案： C 6. 若实数，满足不等式组，则的最大值是 A．13                  B. 12                  C．11                  D．10 参考答案： A 7. 已知双曲线左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，若双曲线右支上存在点P使得，则该双曲线离心率的取值范围为 A．(0，)    B．(，1)    C．(1，)  D．(，) 参考答案： C 略 8. 若，且，则下列不等式成立的是 （    ） （A）         （B）   （C）      （D） 参考答案： D 略 9. 在正项等比数列{an}中，a1008a1010=，则lga1+lga2+…+lga2017=（　　） A．﹣2016 B．﹣2017 C．2016 D．2017 参考答案： B 【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式． 【分析】由正项等比数列{an}中，可得a1a2017=a2a2016=…=a1008a1010==，解得a1009=．再利用对数的运算性质即可得出． 【解答】解：由正项等比数列{an}中，可得a1a2017=a2a2016=…=a1008a1010==，解得a1009=． 则lga1lga1+lga2+…+lga2017==2017×（﹣1）=﹣2017． 故选：B． 10. 已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（　　） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 参考答案： D 解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}， ∴A∩B＝（﹣1，2）． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列的前项和为，且，用表示不超过的最大整数， 如，设，则数列的前2n项和为         参考答案： 12. 设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________。 参考答案： 略 13. 若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是　　． 参考答案： 0＜b＜2 【考点】函数的零点． 【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围 【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点， 从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点， 结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件， 故答案为：0＜b＜2 14. 已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为＿＿＿＿ 参考答案： 15. 如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则. 参考答案： 16. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是               参考答案： 略 17. 设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为   ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD， 且AE⊥平面CDE，AE=1． （Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE； （Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知得AD⊥CD，AE⊥CD，由此能证明CD⊥面ADE． （Ⅱ）过E作EF⊥AD交AD于F，连BF，则∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，由此能求出BE与平面ABCD所成角的余弦值． 【解答】（本小题满分15分） 证明：（Ⅰ）∵正方形ABCD，∴AD⊥CD，（2分） ∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，（5分） 又∵AE∩AD=A， ∴CD⊥面ADE．过E作EF⊥AD交AD于F，连BF， ∵CD⊥面ADE，CD⊥EF，CD∩AD=D，（9分） ∴EF⊥平面ABCD， ∴∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，（12分） ∵BE=，，∴， ∴． ∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为．（15分） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 19. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程； （Ⅱ）已知直线上一点的极坐标为，其中. 射线与曲线交于不同于极点的点，求的值. 参考答案： （Ⅰ）直线的普通方程为，极坐标方程为 曲线的普通方程为，极坐标方程为..............4分 （Ⅱ）∵点在直线上，且点的极坐标为 ∴ ∵  ∴ ∴射线的极坐标方程为 联立，解得 ∴.....................................................10分 20. 已知椭圆E： +=1（a＞）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点． （1）求椭圆E的方程； （2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线； （3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程． 参考答案： 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案； （2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明； （3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合根与系数的关系分析用y1．y2表示出△FPQ的面积，分析可得答案． 【解答】解：（1）由， c=ea=×=2， 则b2=a2﹣c2=2， ∴椭圆E的方程是． （2）证明：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3）， 由方程组，得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0， 依题意△=12（2﹣3k2）＞0，得． 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则， ∵， 由（2﹣x1）y2﹣（x2﹣2）y1=（2﹣x1）?k（x2﹣3）﹣（x2﹣2）?k（x1﹣3）=， 得，∴M，F，Q三点共线． （3）设直线PQ的方程为x=my+3． 由方程组，得（m2+3）y2+6my+3=0， 依题意△=36m2﹣12（m2+3）＞0，得． 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则． ∴=， 令t=m2+3，则， ∴，即时，S△FPQ最大， ∴S△FPQ最大时直线PQ的方程为． 21. （本小题满分12分） 已知函数常数且. (Ⅰ)证明：当时，函数有且只有一个极值点； (Ⅱ)若函数存在两个极值点证明：且. 参考答案：      依题意，．       ……1分          令，则.                           ……2分 （Ⅰ）①当时，，，故， 所以在不存在零点，则函数在不存在极值点；………3分 ②当时，由，故在单调递增. 又，， 所以在有且只有一个零点.                      ……4分    又注意到在的零点左侧，，在的零点右侧，， 所以函数在有且只有一个极值点.                      …………5分 综上知，当时，函数在内有且只有一个极值点.  …………5分 （Ⅱ）因为函数存在两个极值点，（无妨设）， 所以，是的两个零点，且由（Ⅰ）知，必有.   ………6分           令得；令得；令得.   所以在在单调递增，在单调递减，      …………7分   又因为， 所以必有.                                 …………8分 令，解得， 此时. 因为是的两个零点， 所以，.    …………9分 将代数式视为以为自变量的函数， 则.                               …………10分 当时，因为，所以， 则在单调递增. 因为，所以， 又因为，所以.            …………11分 当时，因为，所以， 则在单调递减， 因为，所以.     …………12分         综上知，且．                    …………12分 22. 已知点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，求·的最大值． 参考答案： 由题意，F(-1,0)，设点P(x0，y0)，则有+=1，解得y20=3， 因为=(x0+1，y0)，=(x0，y0)，所以?=x0(x0+1)+y20=x0(x0+1)+3=+x0+3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2，因为-2≤x0≤2，所以当x0=2时，?取得最大值+2+3=6.