河北省秦皇岛市新世纪中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增
C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增
参考答案：
B
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．
解答： 解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．
即y=3sin（2x﹣）．
当函数递增时，由，得．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：B．
点评： 本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．
2. 已知集合A={x|log2x＜1}，B={y|y=2x，x≥0}，则A∩B=（ ）
A．? B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|1＜x≤2}
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，
B={y|y=2x，x≥0}={y|y≥1}，
∴A∩B={x|1≤x＜2}．
故选：C．
10. 已知，且关于的函数在上有极值，则与的夹角范围为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
4. 在等腰直角三角形ABC中，若M是斜边AB上的点，则AM小于AC的概率为
A、 B、 C、 D、
参考答案：
答案：C
5. 在长为3m的线段上任取一点，点与线段两端点、的距离都大于1m的概率是
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
6. 函数的值域为D，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．(－∞,1] B．(－∞,2] C. (0,2] D．[2,+∞)
参考答案：
B
7. 已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则c的取值范围为（ ）
A．c＜ B．c≤ C．c≥ D．c＞
参考答案：
A
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】由已知中函数解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，
∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，
从而△=1﹣4c＞0，
∴c＜．
故选：A
8. 对于命题和命题，“为真命题”的必要不充分条件是（ ）
A．为假命题 Ｂ．为假命题
Ｃ．为真命题 Ｄ．为真命题
参考答案：
C
略
9. 如图，正方形的边长为1，延长至，使，连接、，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
试题分析：由图象知，所以有，再根据同角三角函数关系式，可求出，选B.
考点：1.两角差的正切公式；2.同角三角函数关系式.
10. 如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．2
参考答案：
B
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，带入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．
【解答】解：，，；
∴=
=
=；
∴由平面向量基本定理得：；
解得；
∴．
故选B．
【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线经过圆的圆心，则抛物线的准线与圆相交所得的弦长为 ．
参考答案：
【知识点】圆的标准方程 抛物线的几何性质 H3 H7
圆的标准方程为，圆心坐标，代入抛物线方程可得，所以其准线方程为，圆心到直线的距离，所以抛物线的准线与圆相交所得的弦长为：.故答案为.
【思路点拨】将圆的方程化为标准方程可得圆心，代入抛物线方程可得，即其准线为，根据圆的弦长公式可求得弦长.
12. 已知f（x）=sin4ωx﹣cos4ωx（ω＞0）的值域为A，若对任意a∈R，存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x1），f（x2）]=A，设x2﹣x1的最小值为g（ω），则g（ω）的值域为 ．
参考答案：
（0，1]
【考点】GI：三角函数的化简求值；HW：三角函数的最值．
【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，结合题意可得函数f（x）的周期小于或等于2，即≤2，求得ω≥，根据x2﹣x1的最小值为半个周期，可得g（ω）==≤=1，由此可得g（ω）的值域．
【解答】解：已知f（x）=sin4ωx﹣cos4ωx=（sin2ωx+cos2ωx ）?（sin2ωx﹣cos2ωx ）
=﹣cos2ωx（ω＞0）的值域为A=[﹣1，1]，
若对任意a∈R，存在x1，x2∈R且x1＜x2，
使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x1），f（x2）]=A，则f（x1）=﹣1，f（x2）=1，
故函数f（x）的周期小于或等于2，即≤2，故有ω≥，
根据x2﹣x1的最小值为半个周期，可得g（ω）==≤=1，
则g（ω）的值域为（0，1]，
故答案为：（0，1]．
13. 已知向量，，若，则 .
参考答案：
或
14. 若函数，且，则 。
参考答案：
4或-2
15. 右图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ___ ．
参考答案：
0.3
16. 已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是 ．
参考答案：
（，1）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数零点的判定定理．
【分析】由题意可得，a＞0 且 y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，再利用二次函数的性质求得a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=有3个零点，
∴a＞0 且 y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，
∴，
解得＜a＜1，
故答案为：（，1）．
17. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程的两个实根均大于3.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.
参考答案：
解：若p真，则在R上单调递减，
∴，∴．
若q真，令，则应满足
∴，
∴，
又由题意应有p真q假或p假q真．
①若p真q假，则，a无解．
②若p假q真，则
∴或．
略
19. 已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．
（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；
（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．
（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长，
而底面三角形ABC的面积S=AC?BC=6，
周长c=4+3+5=12，
于是三棱柱的表面积S全=ch+2S△ABC=132．
（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，A′H为三棱柱的高．
因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°，
所以∠A′AH=60°，
又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=S?A′H=6×=30．
【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．
20. 己知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=5，4a32=a2a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=2，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn=，求数列{cn}的前n项和为Tn．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）设等比数列的公比为q＞0，运用等比数列的通项公式，结合条件可得首项和公比的方程组，解方程即可得到所求通项公式；
（2）运用bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1），结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求通项公式；
（3）求得cn===﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．
【解答】解：（1）等比数列{an}的各项均为正数，且公比q＞0，
a1+2a2=5，4a32=a2a6，可得a1+2a1q=5，4（a1q2）2=a12q6，
解得a1=1，q=2，
则an=a1qn﹣1=2n﹣1，n∈N*；
（2）数列{bn}满足b1=2，且bn+1=bn+an，
可得bn+1﹣bn=an=2n﹣1，
则bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=2+1+2+…+2n﹣2
=2+=2n﹣1+1，n∈N*；
（3）cn===﹣，
则数列{cn}的前n项和为Tn=﹣+﹣+…+﹣
=﹣．
21. （本小题满分13分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，,满足=
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设, , 有最大值为3，求的值.
参考答案：
解：（Ⅰ）由条件|p +q |=| p －q |，两边平方得p·q＝0，………1分
又p=（sinA,b+c）,q=（a－c,sinC－sinB）,
代入得（a－c）sinA＋（b+c）（sinC－sinB）＝0，根据正弦定理，
可化为a（a－c）+（b+c）（c－b）=0,…………3分
即，又由余弦定理＝2acosB,
所以cosB＝，B＝……6分
（Ⅱ）m=（sin（C+）,）,n=（2k,cos2A） （k>1）,
m·n=2ksin（C+）+cos2A=2ksin（C+B） +cos2A..........8分
=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+ （k>1）......11分
而0
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