河北省秦皇岛市新世纪中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间[,]上单调递减 B.在区间[,]上单调递增
C.在区间[﹣,]上单调递减 D.在区间[﹣,]上单调递增
参考答案:
B
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取k=0即可得到函数在区间[,]上单调递增,则答案可求.
解答: 解:把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,
得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣)+].
即y=3sin(2x﹣).
当函数递增时,由,得.
取k=0,得.
∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.
故选:B.
点评: 本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是中档题.
2. 已知集合A={x|log2x<1},B={y|y=2x,x≥0},则A∩B=( )
A.? B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x<2} D.{x|1<x≤2}
参考答案:
C
【考点】交集及其运算.
【分析】先分别求出集合A和B,由此能求出A∩B.
【解答】解:∵集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2},
B={y|y=2x,x≥0}={y|y≥1},
∴A∩B={x|1≤x<2}.
故选:C.
10. 已知,且关于的函数在上有极值,则与的夹角范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 在等腰直角三角形ABC中,若M是斜边AB上的点,则AM小于AC的概率为
A、 B、 C、 D、
参考答案:
答案:C
5. 在长为3m的线段上任取一点,点与线段两端点、的距离都大于1m的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 函数的值域为D,若,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1] B.(-∞,2] C. (0,2] D.[2,+∞)
参考答案:
B
7. 已知函数f(x)=x3﹣x2+cx+d有极值,则c的取值范围为( )
A.c< B.c≤ C.c≥ D.c>
参考答案:
A
【考点】函数在某点取得极值的条件.
【分析】由已知中函数解析式f(x)=x3﹣x2+cx+d,我们易求出导函数f′(x)的解析式,然后根据函数f(x)有极值,方程f′(x)=x2﹣x+c=0有两个实数解,构造关于c的不等式,解不等式即可得到c的取值范围;
【解答】解:∵f(x)=x3﹣x2+cx+d,
∴f′(x)=x2﹣x+c,要使f(x)有极值,则方程f′(x)=x2﹣x+c=0有两个实数解,
从而△=1﹣4c>0,
∴c<.
故选:A
8. 对于命题和命题,“为真命题”的必要不充分条件是( )
A.为假命题 B.为假命题
C.为真命题 D.为真命题
参考答案:
C
略
9. 如图,正方形的边长为1,延长至,使,连接、,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:由图象知,所以有,再根据同角三角函数关系式,可求出,选B.
考点:1.两角差的正切公式;2.同角三角函数关系式.
10. 如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=( )
A. B. C. D.2
参考答案:
B
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出,带入并进行向量的数乘运算便可得出,而,这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ,μ的方程组,解出λ,μ便可得出λ+μ的值.
【解答】解:,,;
∴=
=
=;
∴由平面向量基本定理得:;
解得;
∴.
故选B.
【点评】考查向量加法、减法,及数乘的几何意义,以及向量的数乘运算,相等向量的概念,平面向量基本定理.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线经过圆的圆心,则抛物线的准线与圆相交所得的弦长为 .
参考答案:
【知识点】圆的标准方程 抛物线的几何性质 H3 H7
圆的标准方程为,圆心坐标,代入抛物线方程可得,所以其准线方程为,圆心到直线的距离,所以抛物线的准线与圆相交所得的弦长为:.故答案为.
【思路点拨】将圆的方程化为标准方程可得圆心,代入抛物线方程可得,即其准线为,根据圆的弦长公式可求得弦长.
12. 已知f(x)=sin4ωx﹣cos4ωx(ω>0)的值域为A,若对任意a∈R,存在x1,x2∈R且x1<x2,使得{y|y=f(x),a≤x≤a+2}=[f(x1),f(x2)]=A,设x2﹣x1的最小值为g(ω),则g(ω)的值域为 .
参考答案:
(0,1]
【考点】GI:三角函数的化简求值;HW:三角函数的最值.
【分析】利用三角恒等变换化简f(x)的解析式,结合题意可得函数f(x)的周期小于或等于2,即≤2,求得ω≥,根据x2﹣x1的最小值为半个周期,可得g(ω)==≤=1,由此可得g(ω)的值域.
【解答】解:已知f(x)=sin4ωx﹣cos4ωx=(sin2ωx+cos2ωx )?(sin2ωx﹣cos2ωx )
=﹣cos2ωx(ω>0)的值域为A=[﹣1,1],
若对任意a∈R,存在x1,x2∈R且x1<x2,
使得{y|y=f(x),a≤x≤a+2}=[f(x1),f(x2)]=A,则f(x1)=﹣1,f(x2)=1,
故函数f(x)的周期小于或等于2,即≤2,故有ω≥,
根据x2﹣x1的最小值为半个周期,可得g(ω)==≤=1,
则g(ω)的值域为(0,1],
故答案为:(0,1].
13. 已知向量,,若,则 .
参考答案:
或
14. 若函数,且,则 。
参考答案:
4或-2
15. 右图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ___ .
参考答案:
0.3
16. 已知函数f(x)=有3个零点,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(,1)
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数零点的判定定理.
【分析】由题意可得,a>0 且 y=ax2+2x+1在(﹣2,0)上有2个零点,再利用二次函数的性质求得a的范围.
【解答】解:∵函数f(x)=有3个零点,
∴a>0 且 y=ax2+2x+1在(﹣2,0)上有2个零点,
∴,
解得<a<1,
故答案为:(,1).
17. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知命题指数函数在上单调递减,命题关于的方程的两个实根均大于3.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.
参考答案:
解:若p真,则在R上单调递减,
∴,∴.
若q真,令,则应满足
∴,
∴,
又由题意应有p真q假或p假q真.
①若p真q假,则,a无解.
②若p假q真,则
∴或.
略
19. 已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形,两条直角边AC和BC的长分别为4和3,侧棱AA′的长为10.
(1)若侧棱AA′垂直于底面,求该三棱柱的表面积;
(2)若侧棱AA′与底面所成的角为60°,求该三棱柱的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】整体思想;定义法;空间位置关系与距离.
【分析】(1)根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可.
(2)作出棱柱的高,结合三棱柱的体积公式进行求解即可.
【解答】解:(1)因为侧棱AA′⊥底面ABC,所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长,
而底面三角形ABC的面积S=AC?BC=6,
周长c=4+3+5=12,
于是三棱柱的表面积S全=ch+2S△ABC=132.
(2)如图,过A作平面ABC的垂线,垂足为H,A′H为三棱柱的高.
因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°,
所以∠A′AH=60°,
又底面三角形ABC的面积S=6,故三棱柱的体积V=S?A′H=6×=30.
【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算,根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质,结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键.
20. 己知等比数列{an}的各项均为正数,且a1+2a2=5,4a32=a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=2,且bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式;
(3)设cn=,求数列{cn}的前n项和为Tn.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.
【分析】(1)设等比数列的公比为q>0,运用等比数列的通项公式,结合条件可得首项和公比的方程组,解方程即可得到所求通项公式;
(2)运用bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1),结合等比数列的求和公式,计算即可得到所求通项公式;
(3)求得cn===﹣,运用数列的求和方法:裂项相消求和,即可得到所求和.
【解答】解:(1)等比数列{an}的各项均为正数,且公比q>0,
a1+2a2=5,4a32=a2a6,可得a1+2a1q=5,4(a1q2)2=a12q6,
解得a1=1,q=2,
则an=a1qn﹣1=2n﹣1,n∈N*;
(2)数列{bn}满足b1=2,且bn+1=bn+an,
可得bn+1﹣bn=an=2n﹣1,
则bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)=2+1+2+…+2n﹣2
=2+=2n﹣1+1,n∈N*;
(3)cn===﹣,
则数列{cn}的前n项和为Tn=﹣+﹣+…+﹣
=﹣.
21. (本小题满分13分)
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量,,满足=
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设, , 有最大值为3,求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)由条件|p +q |=| p -q |,两边平方得p·q=0,………1分
又p=(sinA,b+c),q=(a-c,sinC-sinB),
代入得(a-c)sinA+(b+c)(sinC-sinB)=0,根据正弦定理,
可化为a(a-c)+(b+c)(c-b)=0,…………3分
即,又由余弦定理=2acosB,
所以cosB=,B=……6分
(Ⅱ)m=(sin(C+),),n=(2k,cos2A) (k>1),
m·n=2ksin(C+)+cos2A=2ksin(C+B) +cos2A..........8分
=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+ (k>1)......11分
而0
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