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河北省秦皇岛市杨黄岭中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列给出的赋值语句中正确的是( )
A.3=A B. M=-M C. B=A=2 D.
参考答案:
B
2. 命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠,则tanα≠1 B. 若α=,则tanα≠1
C. 若tanα≠1,则α≠ D. 若tanα≠1,则α=
参考答案:
C
3. 已知为第二象限角,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 直线与抛物线交点的个数是( )
A. 0 B.1 C.2 D. 0或1
参考答案:
B
5. 某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中几录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示:
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
a
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35,则表中a的值为( )
A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5
参考答案:
D
【考点】线性回归方程.
【分析】由线性回归方程必过样本中心点(,),则=3.5,即=3.5,即可求得a的值.
【解答】解:由题意可知:产量x的平均值为==4.5,由线性回归方程为=0.7x+0.35,过样本中心点(,),
则=0.7+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5,解得: =3.5,
由==3.5,解得:a=4.5,
表中a的值为4.5,
故选:D.
6. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱D1C1的中点,则异面直线D1B、EC的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】如图所示,建立空间直角坐标系.不妨设AB=2.利用=即可得出.
【解答】解:如图所示,建立空间直角坐标系.
不妨设AB=2.
D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,1,2),D1=(0,0,2).
=(﹣2,﹣2,2),=(0,﹣1,2),
∴===.
∴异面直线D1B、EC的夹角的余弦值为.
故选:D.
7. 圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1,则a=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.2
参考答案:
A
【考点】圆的一般方程;点到直线的距离公式.
【分析】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案.
【解答】解:圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为:(1,4),
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1,
解得:a=,
故选:A.
8. 执行如图所示的程序框图,输出的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 已知抛物线()的准线经过点(-1,4),过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交该抛物线于、两点,则( )
A.4 B. C.2 D.1
参考答案:
A
10. 为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20
参考答案:
C
【考点】系统抽样方法.
【分析】根据系统抽样的定义,即可得到结论.
【解答】解:∵从1000名学生中抽取40个样本,
∴样本数据间隔为1000÷40=25.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线在点(1,-3)处的切线方程是
参考答案:
略
12. 已知数列的前项的和为,则这个数列的通项公式为____
参考答案:
13. 下图为函数的图像,其在点M()处的切线为,与轴和直线分别交于点、,点,则面积以为自变量的函数解析式为 ,若的面积为时的点M恰好有两个,则的取值范围为 。
参考答案:
,(此小题每空2分)
14. 已知曲线C上的任意一点M(x,y)满足到两条直线y=±x的距离之积为12.给出下列关于曲线C的描述:
①曲线C关于坐标原点对称;
②对于曲线C上任意一点M(x,y)一定有|x|≤6;
③直线y=x与曲线C有两个交点;
④曲线C与圆x2+y2=16无交点.
其中所有正确描述的序号是________.
参考答案:
①③④
15. 设,若函数有大于零的极值点,则m的取值范围是____.
参考答案:
16. 若P0(x0,y0)在椭圆外,则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线方程是.那么对于双曲线则有如下命题:若P0(x0,y0)在双曲线外,则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1,P2,则切点弦P1P2的所在直线方程是 .
参考答案:
【考点】类比推理.
【分析】根据椭圆与双曲线之间的类比推理,由椭圆标准方程类比双曲线标准方程,由点的坐标类比点的坐标,由切点弦P1P2所在直线方程类比切点弦P1P2所在直线方程,结合求椭圆切点弦P1P2所在直线方程方法类比求双曲线切点弦P1P2所在直线方程即可.
【解答】解:若P0(x0,y0)在椭圆外,
则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1,P2,
则切点弦P1P2所在直线方程是.
那么对于双曲线则有如下命题:若P0(x0,y0)在双曲线外,
则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1,P2,则切点弦P1P2的所在直线方程是
故答案为:.
17. 某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为80人,则n= .
参考答案:
192
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 为了检验“喜欢玩手机游戏与认为作业多”是否有关系,某班主任对班级的30名学生进行了调查,得到一个2×2列联表:
认为作业多
认为作业不多
合计
喜欢玩手机游戏
18
2
不喜欢玩手机游戏
6
合计
30
(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程);
(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢玩手机游戏”与“认为作业多”有关系?
(Ⅲ)若从不喜欢玩手机游戏的人中随机抽取3人,则至少2人认为作业不多的概率是多少?
参考答案:
略
19. (本小题满分12分)已知顶点为原点O的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,与在第一和第四象限的交点分别为A、B.
(1)若△AOB是边长为的正三角形,求抛物线的方程;
(2)若,求椭圆的离心率;
参考答案:
(1)设椭圆的右焦点为,依题意得抛物线的方程为
∵△是边长为的正三角形,∴点A的坐标是,
代入抛物线的方程解得,故所求抛物线的方程为
(2)∵, ∴ 点的横坐标是代入椭圆方程解得,即点的坐标是
∵ 点在抛物线上,∴,
将代入上式整理得:,
即,解得
∵ ,故所求椭圆的离心率。
20. (本题满分12分)
已知,化简:.
参考答案:
0
原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0.
21. 已知函数图象上的点处的切线方程为.
(1)若函数在时有极值,求的表达式;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)(2)
试题分析:(1)对函数f(x)求导,由题意点P(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1,可得f′(1)=-3,再根据f(1)=-1,又由f′(-2)=0联立方程求出a,b,c,从而求出f(x)的表达式.(2)由题意函数f(x)在区间上单调递增,对其求导可得f′(x)在区间大于或等于0,从而求出b的范围
试题解析:,┉…………………………1分
因为函数在处的切线斜率为-3,
所以,即,┉…………………………2分
又得.┉…………………………3分
(1)因为函数在时有极值,所以,┉4分
解得, ┉…………………………6分
所以. ┉…………………………7分
(2)因为函数在区间上单调递增,所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零, ……………………………………………8分
由在区间上恒成立,得在区间上恒成立,
只需…………………………………………………10分
令,则=.当时,恒成立.
所以在区间单单调递减, .…………12分
所以实数的取值范围为. …………………………13分
考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性
22. 若P是极坐标方程为的直线与参数方程为(为参数,且)的曲线的交点,则P点的直角坐标为 .
参考答案:
P
直线的方程为,曲线的方程为,联立解方程组得,,根据的范围应舍去,故点的直角坐标为P。
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