河北省秦皇岛市昌黎县第六中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

河北省秦皇岛市昌黎县第六中学2022年高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 不等式x2+2x－3≥0的解集为   （    ） A.{x|x≤－3或x≥1}          B. {x|－1≤x≤3 } C. {x|x≤－1或x≥3}          D. {x|－3≤x≤1 } 参考答案： A 2. 在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（　　） A．（﹣1，﹣2，3） B．（﹣1，﹣2，﹣3） C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，2，3） 参考答案： D 【考点】空间中的点的坐标． 【分析】点（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c）． 【解答】解：在空间直角坐标系中， 点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（1，2，3）． 故选：D． 【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用． 　 3.  已知，则下列不等式成立的是（    ）     A． B． C． D． 参考答案： C 4. 已知函数f(x)在[0，＋∞)上有定义，对给定的实数K，我们定义函数fK(x)＝若f(x)＝2－x－x2，对任意x∈[0，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则 A．K的最大值为  B．K的最小值为 C．K的最大值为2  D．K的最小值为2 参考答案： D　 由于当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2－x－x2的值域为(－∞，2]，则知当K≥2时，恒有fK(x)＝f(x)． 5. 圆C1 与圆C2的位置关系是（    ） A. 外离     B.  相交     C . 内切     D.  外切 参考答案： C 6. “方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是（    ） A．          B．      C．         D． 参考答案： A 7. 根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是（   ）   A．归纳推理      B.类比推理      C.演绎推理      D.非以上答案 参考答案： C 略 8. 已知函数f ( x ) = sinx – 2x，若，则的最大值为（   ） A．      B．3      C．12        D．16 参考答案： D 略 9. (07C)f(=sin x--2x，则f(x)的单调递减区间为     5．已知定义在 的函数 ，则f(x)的单调递减区间为     A.     B．     C．     D. 参考答案： C 10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　） A．36 B．45 C．99 D．100 参考答案： A 【考点】F1：归纳推理． 【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果． 【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项an=n（n+1）， 同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2， 则由bn=n2（n∈N+）可排除B，C， 由n（n+1）=100，即n（n+1）=200，无正整数解，故排除D 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 双曲线的渐近线方程为y=±2x，则此双曲线的离心率等于　 　． 参考答案： 3 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线的渐近线方程为，得到=2，再根据离心率公式计算即可． 【解答】解：由双曲线的渐近线方程为， ∴=2， ∵e====3， 故答案为：3． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，属于基础题． 　 12. 已知函数，则函数f(x)的定义域为 ▲  ． 参考答案： (1,2)∪(2,4] 函数有意义，则： ，解得：， 据此可得函数的定义域为.   13. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题： ①面是等边三角形；  ②；  ③三棱锥的体积是. 其中正确命题的序号是___________.（写出所有正确命题的序号） 参考答案： ①② 略 14. 已知平面向量，，且，则实数的值为    ． 参考答案： 15. 已知, ，若，则________； 参考答案： 略 16. 双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为　   　． 参考答案： y=±x   【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线=1的渐近线方程为y=x，即可得到所求渐近线方程． 【解答】解：由双曲线=1的渐近线方程为y=x， 则双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x． 故答案为：y=±x． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题． 　 17. 若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是    ． 参考答案： （﹣∞，﹣3）∪（1，） 【考点】点与圆的位置关系． 【专题】计算题． 【分析】把已知圆的方程化为标准方程，找出圆心P的坐标和圆的半径r，并根据二元二次方程构成圆的条件可得a的范围，利用两点间的距离公式求出|AP|的值，由过A可作圆的两条切线，得到点A在圆P外，可得|AP|的值大于圆的半径r，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，与求出的a的范围求出并集，可得满足题意a的取值范围． 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣a）2+y2=3﹣2a， 可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜， 由题意可得点A在圆外，即|AP|=＞r=， 即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0， 解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜， 可得a＜﹣3或 ， 则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，） 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，） 【点评】此题考查了点与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，二元二次方程构成圆的条件，以及不等式的解法，点与圆的位置关系由这点到圆心的距离d与半径r的大小关系来确定：当d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外；d＜r，点在圆内． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 高二数学ICTS竞赛初赛考试后，某校对95分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示． （1）求这组数据的平均数M； （2）从所有95分以上的考生成绩中，又放回的抽取4次，记这4次成绩位于（95，105]之间的个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）（分布列结果不用化简） 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】（1）由频率分布直方图，能求出这组数据的平均数． （2）X的可能取值为0，1，2，3，4，X～B（4，），由此能求出X的分布列和EX． 【解答】解：（1）由频率分布直方图，得这组数据的平均数： M=100×0.1+110×0.25+120×0.45+130×0.15+140×0.05=118，… （2）X的可能取值为0，1，2，3，4．… 某个考生成绩位于（95，105]的概率=0.01×10=… 因此X～B（4，），… ∴P（X=0）==， P（X=1）==， P（X=2）==， P（X=3）==， P（X=4）==． ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P EX=4×=．… 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用． 19. (本小题满分12分)已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. （Ⅰ）求的值； (Ⅱ）若函数，求函数在上的取值范围． 参考答案： 20. （本小题12分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，    求：（1）动点M的轨迹方程； （2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹． 参考答案： 解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合           P ． 由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，   平方后再整理，得 ．  可以验证，这就是动点M的轨迹方程． （2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）． 由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以          ， ．所以有，   ① 由（1）题知，M是圆上的点，所以M坐标（x1，y1）满足：②，将①代入②整理，得． 所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆． 21. 已知，记函数的最大值为，． （1）求的表达式； （2）若对一切，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： 解：（1），                     （2）当时，恒成立，            当时，恒成立，即为恒成立 ∵的最小值为      ∴ 当时，恒成立，即为恒成立        ∵的最大值为  ∴                  综上所述:    略 22. （本小题满分12分）   （III）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数         记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟         的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）   参考答案： 解：（Ⅰ）由直方图可得： . 所以.       ……………（2分） （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为： ， 因为， 所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.  .…（6分） （Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，4.  所以的分布列为： 0 1 2 3 4 .（或） 所以的数学期望为1.                  ………………………………………（12分）