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河北省秦皇岛市昌黎县第六中学2022年高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 不等式x2+2x-3≥0的解集为 ( )
A.{x|x≤-3或x≥1} B. {x|-1≤x≤3 }
C. {x|x≤-1或x≥3} D. {x|-3≤x≤1 }
参考答案:
A
2. 在空间直角坐标系中,点P(1,2,﹣3)关于坐标平面xOy的对称点为( )
A.(﹣1,﹣2,3) B.(﹣1,﹣2,﹣3) C.(﹣1,2,﹣3) D.(1,2,3)
参考答案:
D
【考点】空间中的点的坐标.
【分析】点(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,﹣c).
【解答】解:在空间直角坐标系中,
点P(1,2,﹣3)关于坐标平面xOy的对称点为(1,2,3).
故选:D.
【点评】本题考查点的坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间直角坐标系的性质的合理运用.
3. 已知,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 已知函数f(x)在[0,+∞)上有定义,对给定的实数K,我们定义函数fK(x)=若f(x)=2-x-x2,对任意x∈[0,+∞),恒有fK(x)=f(x),则
A.K的最大值为 B.K的最小值为
C.K的最大值为2 D.K的最小值为2
参考答案:
D
由于当x∈[0,+∞)时,f(x)=2-x-x2的值域为(-∞,2],则知当K≥2时,恒有fK(x)=f(x).
5. 圆C1 与圆C2的位置关系是( )
A. 外离 B. 相交 C . 内切 D. 外切
参考答案:
C
6. “方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是( )
A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.非以上答案
参考答案:
C
略
8. 已知函数f ( x ) = sinx – 2x,若,则的最大值为( )
A. B.3 C.12 D.16
参考答案:
D
略
9. (07C)f(=sin x--2x,则f(x)的单调递减区间为
5.已知定义在 的函数 ,则f(x)的单调递减区间为
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A.36 B.45 C.99 D.100
参考答案:
A
【考点】F1:归纳推理.
【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式,再根据通项公式的特点排除,即可求得结果.
【解答】解:由图形可得三角形数构成的数列通项an=n(n+1),
同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,
则由bn=n2(n∈N+)可排除B,C,
由n(n+1)=100,即n(n+1)=200,无正整数解,故排除D
故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线的渐近线方程为y=±2x,则此双曲线的离心率等于 .
参考答案:
3
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由双曲线的渐近线方程为,得到=2,再根据离心率公式计算即可.
【解答】解:由双曲线的渐近线方程为,
∴=2,
∵e====3,
故答案为:3.
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,属于基础题.
12. 已知函数,则函数f(x)的定义域为 ▲ .
参考答案:
(1,2)∪(2,4]
函数有意义,则:
,解得:,
据此可得函数的定义域为.
13. 将边长为的正方形沿对角线折起,使得平面平面,在折起后形成的三棱锥中,给出下列三个命题:
①面是等边三角形; ②; ③三棱锥的体积是.
其中正确命题的序号是___________.(写出所有正确命题的序号)
参考答案:
①②
略
14. 已知平面向量,,且,则实数的值为 .
参考答案:
15. 已知, ,若,则________;
参考答案:
略
16. 双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为 .
参考答案:
y=±x
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由双曲线=1的渐近线方程为y=x,即可得到所求渐近线方程.
【解答】解:由双曲线=1的渐近线方程为y=x,
则双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x.
故答案为:y=±x.
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,属于基础题.
17. 若过点A(a,a)可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣3)∪(1,)
【考点】点与圆的位置关系.
【专题】计算题.
【分析】把已知圆的方程化为标准方程,找出圆心P的坐标和圆的半径r,并根据二元二次方程构成圆的条件可得a的范围,利用两点间的距离公式求出|AP|的值,由过A可作圆的两条切线,得到点A在圆P外,可得|AP|的值大于圆的半径r,列出关于a的不等式,求出不等式的解集,与求出的a的范围求出并集,可得满足题意a的取值范围.
【解答】解:把圆的方程化为标准方程得:(x﹣a)2+y2=3﹣2a,
可得圆心P坐标为(a,0),半径r=,且3﹣2a>0,即a<,
由题意可得点A在圆外,即|AP|=>r=,
即有a2>3﹣2a,整理得:a2+2a﹣3>0,即(a+3)(a﹣1)>0,
解得:a<﹣3或a>1,又a<,
可得a<﹣3或 ,
则实数a的取值范围是(﹣∞,﹣3)∪(1,)
故答案为:(﹣∞,﹣3)∪(1,)
【点评】此题考查了点与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间的距离公式,二元二次方程构成圆的条件,以及不等式的解法,点与圆的位置关系由这点到圆心的距离d与半径r的大小关系来确定:当d=r,点在圆上;d>r,点在圆外;d<r,点在圆内.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 高二数学ICTS竞赛初赛考试后,某校对95分以上的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(1)求这组数据的平均数M;
(2)从所有95分以上的考生成绩中,又放回的抽取4次,记这4次成绩位于(95,105]之间的个数为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)(分布列结果不用化简)
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计.
【分析】(1)由频率分布直方图,能求出这组数据的平均数.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,X~B(4,),由此能求出X的分布列和EX.
【解答】解:(1)由频率分布直方图,得这组数据的平均数:
M=100×0.1+110×0.25+120×0.45+130×0.15+140×0.05=118,…
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.…
某个考生成绩位于(95,105]的概率=0.01×10=…
因此X~B(4,),…
∴P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
∴X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
P
EX=4×=.…
【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意二项分布的性质的合理运用.
19. (本小题满分12分)已知角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边经过点. (Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函数,求函数在上的取值范围.
参考答案:
20. (本小题12分)已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半, 求:(1)动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,试求点N的轨迹.
参考答案:
解:(1)设动点M(x,y)为轨迹上任意一点,则点M的轨迹就是集合
P .
由两点距离公式,点M适合的条件可表示为 , 平方后再整理,得 . 可以验证,这就是动点M的轨迹方程.
(2)设动点N的坐标为(x,y),M的坐标是(x1,y1).
由于A(2,0),且N为线段AM的中点,所以
, .所以有, ①
由(1)题知,M是圆上的点,所以M坐标(x1,y1)满足:②,将①代入②整理,得.
所以N的轨迹是以(1,0)为圆心,以2为半径的圆.
21. 已知,记函数的最大值为,.
(1)求的表达式;
(2)若对一切,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
解:(1),
(2)当时,恒成立,
当时,恒成立,即为恒成立
∵的最小值为 ∴
当时,恒成立,即为恒成立
∵的最大值为 ∴
综上所述:
略
22. (本小题满分12分)
(III)从学校的新生中任选4名学生,这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数
记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于20分钟
的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率)
参考答案:
解:(Ⅰ)由直方图可得:
.
所以. ……………(2分)
(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:
,
因为,
所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. .…(6分)
(Ⅲ)的可能取值为0,1,2,3,4.
所以的分布列为:
0
1
2
3
4
.(或)
所以的数学期望为1. ………………………………………(12分)
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