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河北省邢台市长城中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数 的定义域为R,则实数m的取值范围是
A.(-∞,+∞) B. C. D.
参考答案:
D
由题意知, 在 上恒成立.
(1)当 时,满足条件;
(2)当 时,二次方程 无实根,故 ,所以 .
综上 .
2. 当时,成立,其中且,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
3. 已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
A.3个 B.2个 C.1个 D.无数多个
参考答案:
B
4. 一人骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间.下图中哪个图象与这件事正好吻合(其中轴表示时间,轴表示路程.) ( )
参考答案:
A
略
5. (5分)已知a=20.3,b=2.10.35,c=log21.2,则a,b,c的大小关系为()
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. b>c>a
参考答案:
B
考点: 对数值大小的比较.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 依据对数的性质,指数的性质,分别界定a、b、c数值的范围,然后判定选项.
解答: ∵1<20.3<20.35<2.10.35,
∴b>a>1
∵c=log21.2<log22=1
∴b>a>c
故选:B
点评: 本题考查对数值大小的比较,分数指数幂的运算,是基础题.
6. 若偶函数f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则( )
A.f(﹣1.5)<f(﹣1)<f(2) B.f(﹣1)<f(﹣1.5)<f(2) C.f(2)<f(﹣1)<f(﹣1.5) D.f(2)<f(﹣1.5)<f(﹣1)
参考答案:
D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由函数的奇偶性、单调性把f(2)、f(﹣1.5)、f(﹣1)转化到区间(﹣∞,﹣1]上进行比较即可.
【解答】解:因为f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,
又﹣2<﹣1.5<﹣1≤﹣1,所以f(﹣2)<f(﹣1.5)<f(﹣1),
又f(x)为偶函数,所以f(2)<f(﹣1.5)<f(﹣1).
故选D.
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用,解决本题的关键是灵活运用函数性质把f(2)、f(﹣1.5)、f(﹣1)转化到区间(﹣∞,﹣1]上解决.
7. 不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据分式不等式解法,化为一元二次不等式,进而通过穿根法得到不等式解集。
【详解】不等式可化简为 且
根据零点和穿根法,该分式不等式的解集为
所以选A
8. 设a、b、c均为正数,且,则
A B C D
参考答案:
A
9. 下列式子中,正确的是( )
A. B.
C.空集是任何集合的真子集 D.
参考答案:
D
10. 下列关系错误的是
A B C D
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某校高一年级的学生,参加科技兴趣小组的有65人,参加演讲兴趣小组的有35人,两个兴趣小组都参加的有20人,则两个兴趣小组至少参加一个的人数为____.
参考答案:
80
略
12. 已知不等式x2-2x-3<0的整数解构成公差为负的等差数列{an}的前三项,则数列{an}的第四项为 .
参考答案:
-1
略
13. M为z轴上一点,M到A(1,0,2)、B(1,﹣3,1)的距离相等,M的坐标为 .
参考答案:
(0,0,﹣3)
【考点】空间两点间的距离公式.
【分析】设出M的坐标,利用M到A(1,0,2)、B(1,﹣3,1)的距离相等,建立方程,即可求得M的坐标.
【解答】解:设M(0,0,t),则
∵M到A(1,0,2)、B(1,﹣3,1)的距离相等,
∴1+(t﹣2)2=1+9+(t﹣1)2
∴t=﹣3
∴M的坐标为(0,0,﹣3)
故答案为:(0,0,﹣3)
14. 一袋中装有10个红球,8个白球,7个黑球,现在把球随机地一个一个摸出来,为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球,则k的最小值为________.
参考答案:
16
至少需摸完黑球和白球共15个.
15. 的值域是_______ ;
参考答案:
略
16. 如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为________.
参考答案:
略
17. 若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 据观测统计,某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1000只,并以平均每年8%的速度增加。
(1) 求两年后这种珍稀鸟类的大约个数;
(2) 写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式;
(3) 约经过多少年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上?(结果为整数)
(参考数据:,)
参考答案:
解:(1)依题意,一年后这种鸟类的个数为, ……2分
两年后这种鸟类的个数为(个) ……3分
(2) 所求的函数关系式为, ……6分
(3) 令,得: …………7分
两边取常用对数得:,即 …………9分
考虑到,故,故
因为
所以 …………11分
约经过15年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上 …………12分
19. 解下列关于x不等式.
(1)x2+x﹣1<0
(2)≥.
参考答案:
【考点】其他不等式的解法;一元二次不等式的解法.
【专题】分类讨论;综合法;不等式的解法及应用.
【分析】(1)先求出方程的根,从头求出不等式的解集;(2)通过讨论x的范围,去掉绝对值号,解不等式即可.
【解答】解:(1)令x2+x﹣1=0,解得:x=,
故不等式的解集为:<x<;
(2)x>0时,原不等式可化为:
≥,
∴≥0,解得:x≥1或0<x<,
x<0时,原不等式可化为:
﹣≥,
∴x<0,
综上:不等式的解集是{x|x<0或0<x<或x≥1}.
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,熟练解不等式的解题过程是解题的关键,本题是一道基础题.
20. 已知函数,。
(1)求的值;
(2)若,,求。
参考答案:
(1);
(2)
因为,,所以,
所以,
所以.
略
21. 已知函数:(a∈R且x≠a).
(1)若a=1,求f(﹣16)+f(﹣15)+f(﹣14)+…+f(17)+f(18)的值;
(2)当f(x)的定义域为[a﹣2,a﹣1]时,求f(x)的值域;
(3)设函数g(x)=x2﹣|(x﹣a)f(x)|,求g(x)的最小值.
参考答案:
【考点】函数与方程的综合运用;函数的最值及其几何意义.
【分析】(1)化简=2,然后求解f(﹣16)+f(﹣15)+f(﹣14)+…+f(17)+f(18的值即可.
(2)判断,在[a﹣2,a﹣1]上单调递减,通过f(a﹣1)≤f(x)≤f(a﹣2)求解函数的值域即可.(3)化简g(x)=x2﹣|x+1﹣a|(x≠a),通过
①当x≥a﹣1且x≠a,时,则函数在[a﹣1,a)和(a,+∞)上单调递增求出最小值.a且a,求解最小值.当时,g(x)最小值不存在.②当x≤a﹣1时,通过a的范围,分别求解函数的最小值.推出结果即可.
【解答】解:(1)=2,…
f(﹣16)+f(﹣15)+f(﹣14)+…+f(17)+f(18)=35,…
(2)证明:,易知f(x)在[a﹣2,a﹣1]上单调递减,…
f(a﹣1)≤f(x)≤f(a﹣2),…
即,∴.…
(3)解:g(x)=x2﹣|x+1﹣a|(x≠a),
①当,
如果即时,则函数在[a﹣1,a)和(a,+∞)上单调递增…
如果,
当时,g(x)最小值不存在.…
②当,
如果,…
如果上为减函数,,…
当,,…
综合得:当a<1且时,g(x)最小值是,
当a≥1时,g(x)最小值为,
当时,g(x)最小值不存在.…
22. (本小题满分10分)
对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内有单调性;②存在区间,使在区间上的值域也为,则称为D上的“和谐”函数,为函数的“和谐”区间。
(1)求“和谐”函数符合条件的“和谐”区间;
(2)判断函数是否为“和谐”函数?并说明理由。
(3)若函数是“和谐”函数,求实数m的取值范围。
参考答案:
(Ⅰ)因为是单调递增函数,所以有,即或或. …………4分
(Ⅱ)函数在上不单调(说明),不是“和谐”函数 …………8分
(Ⅲ)若是“和谐”函数.
设,则
,
所以是单调递增函数. …………10分
若它是“和谐”函数,则必具备方程有两个不相同的实数解,
即方程有两个不同的实数解且同时大于或等于和m.若令,
则. …………15分
另解:方程有两个不相同的实数解,
等价于两函数与的图象有
两个不同的交点,如图当直线过时,;
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