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河北省邢台市张王疃乡育才中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知、、为非零的平面向量.甲:,乙:,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
参考答案:
答案:B
2. 若两个分类变量x和y的列联表为:
y1
y2
合计
x1
10
45
55
x2
20
30
50
合计
30
75
105
则x与y之间有关系的可能性为( )
A.0.1% B.99.9% C.97.5% D.0.25%
参考答案:
C
考点:独立性检验的应用.
专题:计算题;概率与统计.
分析:由列联表中的数据代入公式查表求解即可.
解答: 解:代入公式K2=≈6.11
查表可得,P(K2≥5.024)=0.025;
故1﹣0.025=97.5%;
故选:C.
点评:本题考查了独立性检验的应用,属于基础题.
3. 公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则=( ).
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
参考答案:
C
略
4. 已知数列{an} 满足a1=1, 且, 且n∈N) , 则数列{ an} 的通项公式为 ( )
A. B.
C.an=n+2 D.an=( n+2)·3 n
参考答案:
B【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2
∵an=an-1+()n(n≥2)∴3n?an=3n-1?an-1+1
∴3n?an-3n-1?an-1=1∵a1=1,∴31?a1=3
∴{3n?an}是以3为首项,1为公差的等差数列∴3n?an=3+(n-1)×1=n+2,∴
【思路点拨】由题意,整理可得{3n?an}是以3为首项,1为公差的等差数列,由此可得结论.
5. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数的一个单调减区间为
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
先根据平移变换求出,然后再根据正弦函数的单调区间.
【详解】把的图象向右平移个单位长度后得到,所以,所以.
令,解得,令可得一个减区间为,故选A.
【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间求解,平移图象时,注意x的系数对解析式的影响.
6. 已知A,B,C三点不在同一条直线上,O是平面ABC内一定点,P是△ABC内的一动点,若﹣=λ(+),λ∈[0,+∞),则直线AP一定过△ABC的( )
A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
参考答案:
A
【考点】三角形五心.
【分析】由已知条件画出草图,利用数形结合思想求解.
【解答】解:如图,取BC的中点P并连结AD,
则+=,,
∵﹣=λ(+),λ∈[0,+∞),
∴=λ,即A、P、D三点共线,
又∵AD为BC边上的中线,
∴直线AP一定过△ABC的重心,
故选:A.
7. 已知为i虚数单位,则的实部与虚部之积等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
因为,所以的实部与虚部之积为;故选B.
8. 设实数满足 , 则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. .用反证法证明:如果a>b,则.其中假设的内容应是 ( )
A. B.
C.且 D.或
参考答案:
D
10. 已知(为虚数单位),复数Z的共轭复数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a10=1,则S19=________.
参考答案:
19
12. 从等腰直角的底边上任取一点,则为锐角三角形的概率为 .
参考答案:
1/2
13. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程为,则圆上点到直线的最短距离为 。
参考答案:
14. 在平面直角坐标系中,给定两点和,点在轴上移动,当取最大值时,点的横坐标为 ▲ 。
参考答案:
1
略
15. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上,则
参考答案:
4
16. 设圆,点,若圆O上存在点B,且(O为坐标原点),则点A的纵坐标的取值范围是 。
参考答案:
略
17. 已知函数为上的偶函数,当时,,则 ▲ , ▲ .
参考答案:
.,
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,如图,已知在四棱锥中,底面是矩形,平面,、分别是、的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若与平面所成角为,且,求点到平面的距离.
参考答案:
解:【法一】(I)证明:如图,取的中点,连接.
由已知得且,
又是的中点,则且,
是平行四边形,
∴
又平面,平面
平面
(II)设平面的距离为,
【法一】:因平面,故为与平面所成角,所以,
所以,,又因,是的中点所以,,
.
作于,因,则
,…………………………………………
则,
因
所以………………………………………………
【法二】因平面,故为与平面所成角,所以,
所以,,又因,是的中点所以,,.
作于,连结,因,则为的中点,故
所以平面,所以平面平面,作于,则平面,所以线段的长为平面的距离.
又,
所以……………………………………………
略
19. 已知函数,其中为使能在时取得最大值的最小正整数.
(1)求的值;
(2)设的三边长、、满足,且边所对的角的取值集合为,当时,求的值域.
参考答案:
(1);(2)函数的值域是.
试题分析:(1)利用两角和与差的余弦、正弦函数以及倍角公式化简函数得到,然后利用在时取得最大值,求出最小正整数的值;
(2)在中,利用余弦定理和基本不等式可求出角的取值范围,然后利用三角函数的有界性,求出函数的值域.
试题解析:(1),依题意有
即,所以的最小正整数值为2,.
(2) 又
即
,即.
,,
,.故函数的值域是.
考点:由的部分图像确定其解析式;余弦定理的应用.
20. 18.(本小题满分12分)
如图,在四棱柱
(I)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(II)若M为PA的中点,求证:求二面角
(III)求三棱锥的体积。
参考答案:
21. (13分)已知函数f(x)=cos(2x﹣)+2sin(x+)sin(x﹣).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[﹣,]上的单调递增区间.
参考答案:
【考点】正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法.
【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性得出结论.
(2)利用正弦函数的单调性求得f(x)在上的单调递增区间.
【解答】解:(1)∵函数=cos2x+sin2x+2cos(﹣x)?[﹣sin(﹣x)]
===,
∴f(x)的最小正周期.
(2)令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.
再根据x∈,可得f(x)在上的单调递增区间为[﹣,].
【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性和单调性,属于中档题.
22.
设函数f(x)=的图像关于原点对称,f(x)的图像在点P(1,m)处的切线的斜率为-6,且当x=2时f(x)有极值.
(1)求a、b、c、d的值;
(2)若x1、x2∈[-1,1],求证:|f(x1) -f(x2)≤.
参考答案:
解析:(1)∵y=f(x)的图像关于原点对称,∴由f(-x)= -f(x)恒成立有b=d=0.
则f(x)= 又∵f′(1)=-6,f′(2)=0
∴ 故a=2,b=0,c=-2,d=0.
(2)∵f(x)=
f′(x)<0,f(x)在[-1,1]
上递减而x1∈[-1,1]∴f(1)≤f(x1)≤f(-1) 即
同理可得|f(x2)|≤ 故
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