广东省揭阳市广太中学高一数学文测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在R上的函数f（x）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
f（x）
6.1
2.9
-3.5
-1
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（ ）
A. （-∞，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）
参考答案：
C
【分析】
由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.
【详解】由表可知，
由零点存在性定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3），
故选：C.
【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.
2. 方程的零点所在区间是（ ）
A. (1,2) B. (0,2) C. (3,4) D. (2,3)
参考答案：
D
3. （多选题）已知函数有且只有一个零点，则( )
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
参考答案：
ABD
【分析】
根据二次函数零点的分布，以及三个二次之间的关系，韦达定理的应用，即可容易求得.
【详解】因为有且只有一个零点，
故可得，即可.
对：等价于，显然，故正确；
对：，故正确；
对：因为不等式的解集为，
故可得，故错误；
对：因为不等式的解集为，且，
则方程的两根为，
故可得，
故可得，故正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查二次不等式和二次方程，以及二次函数之间的关系，属基础题.
4. 等差数列{an}前n项和为Sn，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. S15是Sn中的最大值 B. S15是Sn中的最小值
C. S15=0 D. S30=0
参考答案：
D
本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，二次函数的性质.
设公差为则由等差数列前n项和公式知：是的二次函数；又知对应二次函数图像的对称轴为于是对应二次函数为无法确定所以根据条件无法确定有没有最值；但是根据二次函数图像的对称性，必有即故选D
5. （5分）设函数f（x）=，则f（f（3））=（）
A． B． 3 C． D．
参考答案：
D
考点： 函数的值．
专题： 计算题．
分析： 由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出 f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．
解答： 函数f（x）=，则f（3）=，
∴f（f（3））=f（）=+1=，
故选D．
点评： 本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，求出f（3）=，是解题的关键，属于基础题．
6. 函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
7. 2．已知向量且，则等于
A． B. － C. D. －
参考答案：
A
略
8. （5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）
A． 2 B． C． D． 1
参考答案：
C
考点： 点、线、面间的距离计算．
专题： 计算题．
分析： 根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．
解答： 根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，
则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，
由勾股定理可得，BC=；
在Rt△BCD中，BC=，BD=1，
由勾股定理可得，CD=；
故选C．
点评： 本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．
9. 函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
10. 设2a=5b=m，且，则m=（ ）
A． B．10 C．20 D．100
参考答案：
A
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．
【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．
故选A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 是棱长为的正方体的四个顶点，且三棱锥的四个面都是直角三角形，则其全面积为 ．
参考答案：
12. 不等式的解集为___________。
参考答案：
13. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函y=f(x)的图像恰好经过k 个格点，则称函数y=f(x)为k阶格点函数．已知函数：①y=2sinx；②y=cos(x+)；③；④ ．其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确论断的序号都填上）
参考答案：
①③
14. 设集合，则 ．
参考答案：
15. 若函数是指数函数，则实数a=______.
参考答案：
4
略
16. 等差数列中，已知，，则的取值范围是__▲_____.
参考答案：
，即的取值范围是
17. 已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标是 ．
参考答案：
(1,3)
根据题意：令 ，解得 ，点横坐标 ，此时纵坐标，
∴定点坐标是(1,3) .
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (12分)在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列．
(1) 求公差d和通项公式；
(2) 当时,求．
参考答案：
（1） ；（2） .
19. 盒中有10只晶体管，其中2只是次品，每次随机地抽取1只，作不放回抽样，连抽两次，试分别求下列事件的概率：
(1)2只都是正品；
(2)2只都是次品；
(3)1只正品，1只次品；
(4)第二次取出的是次品.
参考答案：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
(1)从8只正品中不放回抽取2只，共有56种抽取方案，从而可求概率；
(2)从2只次品中不放回抽取2只，共有2种抽取方案，从而可求概率；
(3)从8只正品2只次品中不放回抽取2只，共有32种抽取方案，从而可求概率；
(4)从10只晶体管中不放回抽取2只，第二次取出的是次品，共有18种抽取方案，从而可求概率；
【详解】记“连抽两次2只都是正品”为A，“连抽两次2只都是次品”为B，
“连抽两次1只正品，1只次品”为C，“连抽两次第二次取出的是次品”为D
则（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题主要考查古典概率的求解，明确所求事件包含的基本事件是求解关键.
20. 已知函数.
(Ⅰ）在区间上任取，求满足的概率；
(Ⅱ）若，为第四象限角，求的值.
参考答案：
解:(Ⅰ）…………1分
当,满足的范围是…………3分
由几何概型可知满足的概率是…………5分
(Ⅱ）由题意可得，为第四象限角，所以，，…………7分
所以…………9分
略
21. 已知在△ABC中，．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．
参考答案：
【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】（1）由cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，可得﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，可化为tanB=，即可得出．
（2）由a+c=1，利用基本不等式的性质化为ac≤．由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，
∴﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，
化为sinAsinB﹣sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴sinB﹣cosB=0，
∵cosB≠0，
∴tanB=，
∵B∈（0，π）．
解得B=．
（2）∵a+c=1，
∴1≥2，
化为ac≤．
由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac≥，当且仅当a=c=时取等号．
∴b≥．
又b＜a+c=1．
∴b的取值范围是[，1）．
22. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝loga(x－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p＝ f(t)的函数关系式；
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．
参考答案：
解：(1)t∈(0,14]时，
设P＝ f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，将(14,81)代入得c＝－t∈(0,14]时，P＝ f(t)＝－(t－12)2＋82
t∈(14,40]时，将(14,81)代入y＝loga(x－5)＋83，得a＝
∴P＝ f(t)＝
(2)t∈(0,14]时，－(t－12)2＋82≥80
解得12－2≤t≤12＋2，
∴t∈[12－2，14]
t∈[14,40]时，log(t－5)＋83≥80解得5
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